Текст набран по книге М. Гарднер, "Математические головоломки и развлечения", М., Мир, 1971.

Математические фокусы с картами

В одном из рассказов Сомерсета Моэма есть такой диалог:
- Вы любите карточный фокус?
- Терпеть не могу.
- Тогда я покажу вам один фокус.

После третьего фокуса жертва под каким-то предлогом сбегает. Большинство карточных фокусов, если их показывает не искусный профессионал, а любитель, невыносим скучно. Но существует и другие карточные фокусы, для показа которых не требуется никакой ловкости рук. Именно они и представляют интерес с точки зрения математики.

Рассмотрим, например, следующий фокус. Зрители и фокусник садятся за стол друг против друга. Фокусник берёт колоду карт, обращенных рубашкой вверх, и, перевернув двадцать из них рубашкой вниз, передаёт колоду зрителю. Зритель тщательно перетасовывает колоду, и перевернутые карты распределяются случайным образом. Держа колоду под столом так, чтобы ни он сам, ни фокусник не могли видеть карты, зрители отсчитывают двадцать верхних карт, и, не вынимая из-под стола, передаёт фокуснику.

Фокусник берёт стопку, но продолжает держать её под столом так, видеть карты." Ни вы, ни я не знаем, - говорит он, - сколько перевернутых карт имеется среди тех 20, которых вы мне дали. Однако мне кажется, что их меньше, среди тех 32, которые остались у вас. Не глядя на карты, я сейчас переверну у себя ещё несколько карт и попытаюсь уравнять число перевернутых карт в моей части колоды и в вашей".

Фокусник некоторое время возится с картами, делая вид, будто он пытается на ощупь определить у карт верхнюю и нижнюю сторону. Затем он вытаскивает свои карты наверх, раскладывает их на стол и пересчитывает перевернутые. Их оказывается ровно столько же, сколько среди тех 32 карт, которые находятся на руках у зрителя.

Этот замечательный трюк лучше всего объяснить на примере одной из самых старых математических головоломок. Представьте себе, что перед вами два сосуда: в один из них налит литр воды, а в другой - литр вина. Один кубический сантиметр воды, взятый из первого сосуда, переливают в сосуд с вином и тщательно перемешивают. Затем берут один кубический сантиметр смеси и переливают его обратно в сосуд с водой. Чего теперь больше: воды в вине или вина в воде? (Мы пренебрегаем тем, что обычно смесь воды и спирта занимает меньший объём спирта и воды до смешивания).

Ответ таков: вина в воде ровно столько же, сколько воды в вине. Забавно что в этой задаче содержится слишком много информации, не относящейся к делу. Совершенно излишне знать, сколько жидкости в каждом сосуде, какое количество её переливается и сколько раз повторяется переливание. Безразлично, тщательно ли перемешиваются жидкости. Несущественно даже то, одинаково ли количество жидкости в сосудах до переливания. Единственное действительно важное условия заключается в том, что каждый сосуд по окончание всех переливаний содержит точно такое же количество жидкости, какое было в нём сначала. Это условие означает, что какое бы количества вина мы ни взяли из сосуда с вином, нам непременно придётся пополнить образовавшийся дефицит таким же количество воды.(Можно сказать так: нехватка вина в сосуде с вином равна количеству вина в сосуде с водой. - Прим. Ред.)

Если читателю приведённые рассуждения кажутся непонятными, он сможет разобраться в них с помощью колоды карт. Пусть 26 карт, разложенных в ряд на столе рубашками вверх, изображают собой вино, а 26 карт, разложенных в ряд вверх картинками, - воду. Сколько бы вы ни перекладывали карты из одного ряда в другой, если в конце концов в каждом ряду окажется снова по 26 карт, то число карт, лежащих рубашкой вверх в одном ряду, будет в точности совпадать с числом карт другой ряда, лежащих вверх картинкой.

Возьмём тетерь стопу из 32 карт, обращённых вверх рубашкой, и стопку из 20 перевёрнутых карт и будим перекладывать карты из одной стопки в другую любое число раз, следя лишь за тем, чтобы в меньшей стопке всё время оставалось 20 карт. Переворачивая меньшею стопку, вы закрываете открытые карты и, наоборот, открываете карты, которые раньше были закрыты. Поэтому после переворачивание в обеих стопках открытых карт станет поровну.

Теперь уже всем, наверное, ясно, как получается фокус с картами. Сначала фокусник переворачивает ровно 20 карт. Когда же он получает стопку из 20 от зрителя, число неперевернутых карт в ней равно число перевернутых карт в оставшейся части колоды. Затем, делая вид, что он переворачивает какие-то новые карты, фокусник на самом деле переворачивает всю стопку из 20 полученных им карт. В результате в этой стопке оказывается столько же перевёрнутых карт, сколько их содержится среди 32 карт, оставшихся у зрителя. Математиков этот фокус особенно удивляет, потому им и приходят в голову очень сложные объяснения.

На элементарных математических принципах основаны и многие фокусы с отгадыванием числа карт. Вот один из лучших фокусов этого типа. Повернувшись спиной к зрителям, попросите кого-нибудь из присутствующих взять из колоды любое число карт от 1 до 12 и, не называя число отобранных карт, спрятать их в карман. Затем ваш помощник должен отсчитать сверху колоды ровно столько карт, сколько он уже спрятал у себя в кармане, и запомнить следующую за последний отсчитанной картой. Когда все это будет сделано, вы поворачиваетесь к публике лицом и просите назвать чью-нибудь фамилию и имя, в которых было бы не менее 13 букв. Допустим, к примеру, кто-то назвал Бенвенуто Челлини. Держа в руках колоду карт, вы обращаетесь к зрителю, в кармане которого спрятаны отобранные им карты, и говорите, что он должен, называя каждую букву в имени и фамилии Бенвенуто Челлини, выкладывать при этом на стол по одной карте. Показывая, как это надо делать, вы снимаете по одной карте с вашей колоды и произнося вслух каждую букву, выкладываете карты на стол рубашкой вверх. Затем вы собираете эти карты и кладёте поверх оставшихся в колоде карт.

Вcю колоду вы передаёте зрителю и просите его положить те карты, которые лежат у него в кармане, сверху. Не забудьте подчеркнуть, что вы не знаете, сколько карт хранится у него в кармане. И все же, несмотря на добавление в колоде неизвестного числа карт, после того как зритель произнесёт по буквам "Бенвенуто Челлини" и проделает все, о чём вы говорили, верхний картой в колоде окажется задуманная им карта!

Нетрудно понять, в чём здесь дело. Пусть x - число карт в кармане у зрителя и, следовательно, число карт, лежащих в колоде поверх задуманной им карты, а у - число букв в имени и фамилии названного зрителями лица. Показывая, как надо называть по буквам имя и фамилию, вы изменяете порядок у карт на обратный, вследствие чего "глубина залегания" замеченной карты становится у - x. Добавления к колоде x карт приводит к тому, что задуманная карта оказывается на (у - x + x)-м месте, считая сверху. Величины x и - x взаимно уничтожаются, и задуманная карта после того, как будет у букв, окажется сверху.

На более тонком использовании того обстоятельства, что результаты отдельных манипуляций с картами могут компенсировать друг друга, основан следующий фокус. Зритель выбирает любые три карты их закрытыми на стол, не показывая фокуснику. Остальные карты, тщательно перетасовав, зритель возвращает фокуснику. "Все карты в колоде останутся на своих местах, - говорит фокусник. - Я лишь вынул из колоды одну карту. По цвету и значению она совпадает с той, которую вы сейчас выберете". С этими словами он извлекает из колоды одну карту и не открывая, откладывает её в сторону.

Оставшиеся карты вручают зрителю и просят его открыть те три карты, которые он ранее выложил на стол. Предположим, что это были девятка, дама и туз. На каждую из открытых карт зритель кладёт рубашкой вверх карты из колоды, считая при этом вслух. Выкладывая карты на девятку, он считает от 10 до 15 (то есть всего выкладывает шесть карт). Дама имеет значения, равное 12 (валет - 11, король - 13), поэтому, выкладывая карты на неё, счёт нужно начинать с 12. Поскольку кончается счёт всегда на 15, дама окажется закрытой тремя картами. Поверх туза (значение - 1) нужно выложить 14 карт.

По того как нужное число карт выложено, фокусник просит зрителя сложить значение трёх нижних (открытых) карт и найти в колоде карту номер которой совпадает с полученной суммой. В настоящим примере это сумма равна 22 (9 +12 +1), поэтому зритель вынимает двадцать вторую карту. Наконец, фокусник открывает отложенную в самом начале фокуса карту. Обе карты - вынутая только что зрителям и отложённая давным-давно фокусником - совпадает и по значению, и по цвету!

Как делается этот фокус? Выбирая свою карту, фокусник должен подсмотреть цвет и значение четвёртой карты снизу и отложить карту, совпадающую с ней по цвету и значению. Остальное получается автоматически. (Иногда эта карта оказывается среди тех нижних карт колоды. Как только зритель кончит карты, не забудьте попросить его открыть следующую карту.) Я предоставляю читателю самому провести несложное алгебраическое доказательство того, что фокус должен получаться всегда без "осечек". Простота, с которой тасуются карты, делает их очень удобными для демонстрации ряда вероятностных теорем, из которых многие достаточно удивительны и вполне заслуживают, чтобы их называли фокусами. Представим себе, например, что у каждого из двух людей имеется по колоде из 52 карт. Один из них считает вслух от 1 до 52. На каждый счёт оба выкладывают на стол по одной карте рубашкой вниз. Какова вероятность того, что в какой-то момент на стол будут выложены одновременно две одинаковые карты?

Многие, наверное, считают, что эта вероятность мала, а на самом деле она больше! Вероятность несовпадения равна 1, делённой на трансцендентное числе e. (Это не совсем так, но ошибка составляет менее 1/10.) Поскольку число e равно 2,718…, вероятность совпадения приближённо равна 17/27. Если найдётся желающий поспорить, что совпадения не будет, вы имеете довольно большие шансы выиграть пари. Интересно заметить, что, выкладывая карты из двух колоды, мы получаем эмпирический метод для нахождения десятичного разложения числа e, аналогичный нахождению разложения числа пи бросанием иглы Бюффона. Чем больше карт мы возьмём, тем ближе к 1/e будет вероятность несовпадения.


Текст с книжки набрал Никита Скляревский