Числовые процессы и небольшой отдых для любителей

Извините, господа, я долго стучался в дверь, но вы так бурно обсуждали цифровые фотокамеры, бизнес в Интернете и 128-битный криптопротокол, что пока я не бабахнул молнией по люстре (иногда приходится прибегать к чудесам) никто не обращал на меня внимания. А я всего лишь хотел спросить, нет ли среди вас любителей ковыряться с цифрами, числами, операторами Бейсика и всякой подобной чепухой, для кого компьютер – это прежде всего прекрасный инструмент для проверки своих фантазий и заблуждений. Нет? Жаль, есть интересные

Процессы и числовые последовательности

Имеется несколько стопок книг. Мы берём с каждой стопки по одной книге и ставим их стопкой рядом с начальными стопками. Потом повторяем эту операцию. К чему мы придём? И придём ли к чему-нибудь? Как влияет на результат наших действий начальная расстановка – количество стопок и количество книг в них? Чувствуется, что процесс подходит для моделирования на компьютере. C помощью программы случайно удалось найти самое примитивное устойчивое колебание для случая из двух книг – то две стопки по одной книге, то одна с двумя.

Числовые последовательности попадаются довольно забавные. Например, выберите число и найдите сумму квадратов его цифр, потом проделайте это с полученной суммой ещё и ещё раз. Кстати, прекрасное средство от бессонницы. Придём ли мы к чему-нибудь? Как зависит то, к чему мы придем от начального числа? Задача просто идеальная для начинающих программистов. Я узнал эту задачу лет за 10 до появления ПК и заинтересовавшимся могу посоветовать записывать процесс на бумаге, тогда вы быстро выявите несколько «зацикливаний».

Теперь та же операция, но с суммой кубов цифр числа. Удивительно, но если начальное число кратно трём, то мы всегда будем кончать повтором одного и того же числа (какого?). Почему? А если не кратно трём? Запишите как домашнее задание.

Ещё одна последовательность: первый член произвольное нечётное число, отличное от единицы. Следующее за числом р равно р/2, если р чётно, 3*р+1, если р нечётно. Последовательность заканчивается, если встретится значение равное единице. Всегда ли последовательность достигает 1? Как это зависит от начального числа? Хорошее упражнение для Бейсика. Сопутствующий вопрос: как попроще выяснить четность числа?

И ещё одна, «последняя интересная» последовательность, «вкусная» для Бейсика. Напишите четырёхзначное число. Теперь выпишем цифры этого числа в порядке возрастания и вычтем полученное число из начального. Разница будет вторым членом последовательности. Продолжая такую мудрёную операцию, вскоре заметим, что мы «циклим» на числе 6174 независимо от начального числа и ещё заметим, что не можем это объяснить.

А сколько четырёхзначных чисел, в записи которых нет повторяющихся цифр? Не так уж много… Услышав эту задачу (задавалась на какой-то олимпиаде для школьников) я с нетерпением дождался «встречи» с Бейсиком, тогда еще на СМ-4, чтобы убедиться, что таких чисел неожиданно мало.

И еще одна жемчужинка, которую предложил французский ученый Ж. Арсак в своей книге «Программирование игр и головоломок» для разминки. (Кстати, нельзя не привести слова из этой книжки: «Кто сам программирует свои компьютерные игры, наслаждается дважды. Это вольный пересказ французской поговорки, которая звучит так: кто сам пилит свои дрова, согревается дважды.») Найти такое число, оканчивающееся на 5, что, умножая его на 5, мы получим новое число, полученное из предыдущего вычеркиванием цифры 5 на конце и приписыванием его в начале. Закончив условие, Арсак пишет: «Это легко…» и тут же добавляет: «Та же задача с заменой 5 на 2. Можно ли заменить здесь 5 какой-нибудь цифрой, отличной от 0?»

Устали? Всё – теперь отдых на природе в Чимгане.

Собирая рюкзак из множества предметов (каждый имеет вес и цену), надо постараться, чтобы вес рюкзака был не более 30 кг при максимальной стоимости уложенных вещей. Пока едем на автобусе рассмотрим билеты. Сколько счастливых билетов никто не знает, попробуйте подсчитать на нагромождая шесть вложенных циклов. Теперь о приятных билетах. Это такие, у которых результат действий с тремя левыми цифрами можно приравнять результату действий с тремя правыми, причём можно использовать все операции – арифметические и алгебраические. Есть чудаки, утверждающие, что все билеты приятные…

Рассмотрев билеты поиграем в азартную игру. Бросаем кубик и складываем выпавшие очки. В любой момент можем остановиться и передать кубик другому игроку. Если выпадает единица, то все набранные в этой серии бросков очки «сгорают». Побеждает набравший первым, например, 50 очков. Есть ли стратегия, или только чутьё? Можно ли научить компьютер, и потом обыграть его?

Поднимаясь на подъёмнике на гору со скоростью 5 км/час, подумайте, с какой скоростью надо спускаться на лыжах, чтобы средняя скорость движения была бы равна 10км/час. Но только подумайте, съезжать с такой скоростью не рекомендует М. Гарднер, у которого заимствована эта задача.

Кому бежать за пивом определить очень просто: каждый называет число (например, высота горы или возраст буфетчика), и тот, чье число ближе всех к среднему арифметическому, и бежит.

Возвращаясь домой в автобусе можно поиграть в ним-подобную игру, но – с датами. Первый игрок сообщает какую-нибудь дату января. Каждый игрок на своём ходе увеличивает либо день в месяце, либо месяц, но не то и другое сразу. Если вы переходите к 31 января, то ваш противник сможет в дальнейшем менять только месяцы, и притом лишь месяцы с 31 днём. Выигрывает назвавший 31 декабря. Количество дней в феврале можно брать по текущему году. (Кстати, 2000-й год правильнее было бы назначить не високосным, погрешность растет, это отразится на погоде и на астрологии…) Как лучше играть? А с компьютером?

Последний этюд из области воспоминаний. На древней СМ-4 была игра. Машина сообщала: я задумала число от 1 до 300 (например), введите ваши два числа. Мы вводили два числа, и машина выдавалала одно из четырёх сообщений:

• моё число больше каждого из ваших;
• моё число меньше каждого из ваших;
• моё число равно одному из ваших, конец игре;
• мое число между вашими;

Дальше процесс повторялся, но число попыток было ограничено, выдавались язвительные замечания об играющем, но это уже не имеет отношения к несложным вопросам:

1. Какова оптимальная стратегия играющего?
2. Какое максимальное число (не торопитесь) может машина загадать, чтобы за шесть (или семь) оптимальных ходов отгадать его? Для пяти попыток – 242, кто опровергнет, будет считаться лучшим математиком среди читателей.

Когда игра надоест и ваши друзья будут отгадывать число с закрытыми глазами, сделайте небольшую пакость: пусть при каждом ответе задуманное число изменяется на единицу случайным образом. Только бы вас не поколотили потом.

Ну вот и всё. Если вы дочитали до конца, уже неплохо, если что-то вас заинтересовало, значит вы ещё живы для великих свершений. И не слушайте тех, кто не любит математику, программирование и прочие «глупости», пожалеем их: ведь их жизнь, потраченная на суету, скучна и неказиста.