ГЛАВА XIII ЧУДО-ВЫЧИСЛИТЕЛИ

Иногда встречаются люди, наделенные выдающимися способностями к устному счету^*. За несколько секунд они перемножают большие числа, извлекают корни и решают многие другие задачи, на которые опытный математик, пользуясь карандашом и бумагой, тратит куда больше времени. Способности этих людей не ограничиваются только решением столь простых примеров. Многие чудо-вычислители решали и более сложные задачи, связанные, например, с разложением чисел па простые множители, нахождением сложных процентов, размеров ежегодной ренты, расчетом дат гражданского и церковного календарей, вычислением корней уравнений и т. д. Они делали это с легкостью, как только понимали, что от них требуется. Среди этих людей часто попадалась совершенно неграмотные, и при вычислениях они обычно пользовались правилами собственного изобретения.

Выступления чудо-вычислителей производили столь сильное впечатление, что некоторые зрители верили, будто они обладают сверхъестественными способностями, недоступными другим. Такое мнение лишено оснований. Всякий человек с отличной памятью и природной склонностью к арифметике может достичь большой сноровки в устном счете, если будет уделять все свое внимание изучению чисел и постоянно упражняться; ну а выступления тех, кто одарен особым вычислительным талантом, действительно поразительны, - но ничего сверхъестественного в этом нет.

В этой главе я коротко расскажу о самых знаменитых чудо-вычислителях. Мы увидим, что в основном они пользовались одинаковыми приемами, хотя и доведенными до разной степени совершенства. Поэтому в последних примерах мы сочли достаточным просто кратко указать на особенности тех или иных вычислителей.

Речь пойдет только о настоящих самоучках; мы не упоминаем здесь немногочисленных эстрадных исполни телей, которые путем упорной практики, специальных приспособлений и артистических трюков лишь имитируют вычислительные способности. Кроме того, нас будут интересовать только те, кто проявил выдающиеся способности к счету еще в юности. Насколько мне известно, единственный вычислитель-самоучка средних лет, не попавший в наш список именно по этим соображениям, - это знаменитый Джон Валлис (1616-1703), профессор математики в Оксфорде, который уже в зрелом возрасте ради собственного удовольствия развил свои способности в устном счете. В качестве иллюстрации его достижений сообщу, например, что 22 декабря 1669 г., лежа в постели, он занялся вычислением (в уме) целой части квадратного корня из 3x10⁴⁰ и несколько часов спустя по памяти записал результат. Этот факт привлек внимание - через два месяца ему предложили извлечь квадратный корень из 53-значного числа. Он выполнил вычисление в уме, а через месяц продиктовал ответ, который до этого не записывал. Подобные проявления вычислительных способностей и памяти характерны для многих чудо-вычислителей.

Одним из самых первых чудо-вычислителей, о котором сохранились письменные свидетельства, был Джедедия Бакстон, родившийся приблизительно в 1707 году в Элмтоне (графство Дербишир, Великобритания). Хотя он и был сыном деревенского учителя, его образованием никто не занимался, и он никогда не учился ни читать, ни оперировать цифрами. Если не брать в расчет его вычислительного дара, то во всем остальном он отличался невысокими умственными способностями: абсолютно лишенный честолюбия, он всю жизнь оставался простым сельскохозяйственным рабочим и не извлекал никакой материальной выгоды из своего исключительного уменья, кроме небольших сумм, которые он изредка получал от тех, кто заставлял его демонстрировать свое искусство. Умер Бакстон в 1772 г.

Бакстон не помнил, когда и почему он впервые увлекся устными вычислениями; нет никаких достоверных подробностей о его первых выступлениях. Однако числа, по-видимому, всегда волновали его¹. Если речь заходила о размерах какого-то предмета, то он тут же принимался считать, сколько там дюймов или "толщин волоса"; если упоминался какой-то отрезок времени, он считал, какова его продолжительность в минутах; слушая проповедь, он думал только о том, сколько в ней слов или слогов. Благодаря постоянной практике его природные данные, несомненно, возросли; однако его представления оставались по-детски наивными и не шли дальше гордости собственной способностью точно производить подобные вычисления. Бакстон был тугодум и тратил на решение арифметических задачек гораздо больше времени, чем другие чудо-вычислители. Единственное практическое применение своим способностям он нашел в том, что, пройдя по полю неправильной формы, мог сразу определить его площадь.

Слава о Бакстоне постепенно распространялась по Дербиширу, к нему потянулись посетители. Их вопросы носили сугубо практический характер: сколько акров составляет прямоугольное поле длиной 351 и шириной 261 ярд? (ответ был дан через 11 мин); сколько нужно вынуть кубических ярдов земли, чтобы выкопать пруд длиной 426, шириной 263 и глубиной 2¹/₂ фута? (ответ - через 15 мин); если звук проходит 1142 фута в секунду, за какое время он пройдет 5 миль? (ответ - через 15 мин). Эти результаты позволяют судить о способностях молодого Бакстона; однако, как видим, все эти вопросы не содержат принципиальных трудностей.

А вот несколько задач потруднее, которые Бакстон решал позднее, когда его способности достигли полного расцвета. Он подсчитал, какая сумма получится из одного фартинга, если произвести 140 удвоений: в ответе получается 39-значное число фунтов стерлингов и сверх того 2 шиллинга и 8 пенсов. Затем его попросили умножить полученное 39-значное число на само себя. На этот вопрос он ответил через два с половиной месяца, сказав при этом, что считал не все время, а лишь несколько раз урывками. В 1751 г. Бакстон подсчитал, сколько кублческих дюймов в прямоугольном каменном блоке длиной 23 145 789, шириной 5 642 732 и толщиной 54 965 ярдов; сколько понадобится зерен, чтобы наполнить куб объемом 202 680 000 360 кубических миль, и сколько потребуется волосков длиной в 1 дюйм, чтобы заполнить то же пространство (размеры зерна и волоска заданы). В принципе эти задачи несложны, но входящие в них числа столь велики, что для выполнения расчетов в уме вычислитель должен обладать феноменальной памятью, Во всех перечисленных случаях Бакстон дал правильный ответ, правда затратив на это значительные усилия. В 1753 г. его попросили определить размеры кубического ларя, вмещающего ровно 1 квартер солода. Он понял, что для этого требуется процесс, эквивалентный извлечению кубического корня, - совершенно незнакомая ему, процедура, но через час сказал, что ребро куба должно составлять от 25¹/₂ до 26 дюймов. Это действительно так; высказывалось предположение, что Бакстон получил ответ, пробуя разные числа.

В печати стали появляться сообщения о выступлениях Бакстона, и постепенно весть о нем дошла до Лондона, куда он и отправился в 1754 г. Подвергнув Бакстона всевозможным испытаниям, члены Королевского общества с удовлетворением убедились в том, что в его действиях нет обмана. Кто-то из новых знакомых повел Бакстона в театр Друри-Лейн посмотреть на знаменитого Гаррика: было интересно, как подействует пьеса на его воображение. Он остался равнодушен к происходившему на сцене, а выйдя из театра, назвал точное число слов, произнесенных разными актерами, и число шагов, сделанных танцорами.

Только в редких случаях Бакстон мог объяснить свои методы; однако о них известно достаточно, чтобы оценить всю их топорность. Например, он описал процесс умножения 456 на 378. Обозначим первое из чисел через а. Тогда, коротко говоря, последовательность действий, выполненных Бакстоном, выглядит следующим образом. Сначала он нашел 5а = b; затем 206 = с и Зс = d. После этого он образовал 156 = е и прибавил его к d. Наконец, он нашел За, прибавил к предыдущей сумме - и назвал ответ. Таким образом, фактически он представил множитель 378 в виде (5 x 20 x З) + (5 x 15) + 3. Как предполагает Митчелл, это могло означать, что Бакстон считал при помощи кратных 60 и 15, сводя таким способом умножение к сложению. Быть может, и так, поскольку трудно предположить, будто он не понимал, что последовательное умножение на 5 и на 20 равносильно умножению на 100, результат которого получается сразу. Бакстон никогда не слышал о биллионах, триллионах и т. д. и для представления больших чисел, которые требовалось найти в некоторых предлагаемых ему задачахв изобрел собственную систему обозначений; число 10¹⁸он называл кланом (tribe), a 10³⁵ - судорогой (cramp)".

Как и все чудо-вычислители, Бакстон обладал великолепной памятью, что со временем позволило ему узнать много разнообразных фактических данных (произведения некоторых постоянно встречающихся чисел, число минут в году, число "толщин волоса" в миле), значительно упрощавших подсчеты. Он обладал, кроме того, одной любопытной и, пожалуй, уникальной особенностью: мог прервать производимые им в уме вычисления, переключиться на другие занятия, а через какое-то время, иногда через несколько недель, вернуться к прерванному решению задачи. На простые вопросы он мог отвечать одновременно двум или более спрашивающим.

Другой чудо-вычислитель XVIII в., негр Томас Фуллер, родился в Африке в 1710 г. В 1724 г. его продали в рабство и привезли в Виргинию (США), где он и жил до самой смерти; умер Фуллер в 1790 г. Подобно Бакстону, Фуллер не учился ни читать, ни писать; все его способности исчерпывались умением считать в уме. Он справлялся с умножением двух чисел, каждое из которых содержало не более девяти цифр; мог сосчитать число секунд в заданном интервале времени; число зерен в заданном объеме и т. п. - короче говоря, решать стандартные задачи, предлагаемые обычно таким вычислителям, если в них не содержалось ничего сложнее умножения и тройного правила. Фуллер соображал быстрее Бакстона, но медленнее других "самородков", о которых речь пойдет дальше.

Теперь я упомяну двух выдающихся ученых, которые уже в раннем детстве проявили подобную одаренность. Один из них - Андре Мари Ампер (1775 - 1836). Ребенком, в возрасте примерно четырех лет, он привык выполнять в уме длинные вычисления, пользуясь правилами, которые узнал из игр с камешками. Хотя Ампер и в дальнейшем блестяще владел устным счетом и был наделен феноменальной памятью на числа, он не развивал в себе специально именно вычислительные способности. Карл Фридрих Гаусс (1777 - 1855), напротив, большую часть жизни посвятил сложнейшим вычислениям. Конечно, Гаусс опирался при этом на глубокое знание теории чисел^*, но склонность к вычислениям проявилась у него еще в раннем детстве. В возрасте трех лет он поразил отца, исправив ошибку в подсчете платежей за сверхурочную работу. Быть может, это свидетельствует лишь о том, как рано начал развиваться его необычный талант.

Другой замечательный пример - Ричард Уэйтли (1787 - 1863), ставший архиепископом Дублинским. Когда ему было лет шесть, он проявил незаурядные способности к устному счету; однако примерно через три года они пропали. "Я рано научился, - вспоминал он, - решать в уме самые трудные примеры, потому что не умел записывать числа и не знал названия тех действий, которые выполнял. Думаю, что в основном это были примеры на умножение, деление и тройное правило... Я решал их намного быстрее, чем это возможно при помощи карандаша и бумаги, и не помню, чтобы когда-нибудь допустил хоть малейшую ошибку. С утра до вечера я занимался только вычислениями да фантазированием... В школе, когда это увлечение прошло, я оказался совершенным тупицей в арифметике, и так им и остался>. Однако на самом деле в дальнейшем арифметические способности архиепископа были гораздо выше, нежели он здесь описывает.

Большое внимание привлекли выступления в Лондоне в 1812 г. Зера Колберна. Колберн родился в 1804 г. в Кэботе (штат Вермонт, США) в семье мелкого фермера. Ему еще не было шести лет, когда проявились его невероятные способности к устному счету. Мальчика возили по всем Соединенным Штатам, а через два года отправили в Англию, где его многократно обследовали весьма авторитетные лица. Четырехзначные числа он перемножал мгновенно, а пятизначные - с небольшой заминкой. Среди вопросов, которые ему тогда предлагали, был такой: возвести 8 в 16-ю степень. Через несколько секунд он назвал правильный ответ: 281 474 976 710 656. Затем его попросили возвести 2, 3, ..., 9 в 10-ю степень. Он делал это с такой скоростью, что его ответы пр.осто не успевали записывать. Когда требовалось возводить в высокую степень двузначные числа, например 37 или 59, дело шло не так быстро. Колберн молниеносно извлекал квадратные и кубические корни (если они выражались целыми числами) из больших чисел, например квадратный корень из 106929 и кубический корень из 268 336 125, - но для нахождения целочисленных корней есть много разных методов. Более интересны его ответы на вопросы о множителях целых чисел. Когда его попросили назвать множители числа 247483, он ответил: 941 и 263; для числа 171395 он назвал множители 5, 7, 59 и 83; о числе 36083 сказал, что у него нет множителей. Однако он с трудом находил множители чисел, больших 1000000. Колберн обладал исключительной способностью разлагать на множители большие числа, пользуясь в основном методом двузначных окончаний, о котором речь пойдет ниже. Подобно всем чудо-вычислителям, выступающим перед публикой, ему приходилось выслушивать насмешки, однако он обычно в таких ситуациях не терялся. Так, однажды его спросили, сколько нужно черных бобов, чтобы получить три белых, и он, как говорят, не задумываясь ответил: <Три, если снять с них кожуру>. Правда, похоже на то, что об этом вопросе его заранее предупредили.

Наблюдателям было ясно, что мальчик пользовался определенными правилами: во время подсчетов он шевелил губами, как бы выражая все действия словами. В его честности, по-видимому, не приходилось сомневаться. В нескольких случаях он сумел объяснить свой метод. Когда его попросили возвести в квадрат 4395, он замялся, но после повторения вопроса дал правильный ответ: 19316025. На вопрос о причинах заминки он ответил, что не любит умножать четыре цифры на четыре цифры и добавил: <Я нашел другой способ - умножил 293 на 293, а потом дважды умножил произведение на 15>. В другой раз, когда потребовалось умножить 21734 на 543, он немедленно ответил: 11801562 - и на расспросы объяснил, что получил нужное произведение, умножив 65202 на 181. Эти факты свидетельствуют о том, что, когда это было удобно, он разлагал числа, с которыми работал, на множители.

В 1814 г. Колберна повезли в Париж, но в бурной политической обстановке тех лет его выступления не привлекли особого внимания. Однако английские и американские поклонники таланта Колберна собрали достаточную сумму денег, чтобы отправить его учиться сна< чала в лицей Наполеона в Париже, а затем в Вестминстерскую школу в Лондоне. Во время учебы его вычислительные способности ослабли, и он лишился той детской непосредственности, которая очаровывала зрителей раньше. Дальнейший жизненный путь Колберна был весьма извилист и не особенно успешен: он вновь начал было выступать на эстраде, но отказался от этого и стал школьным учителем, затем, вернувшись в США, некоторое время был проповедником, а позднее стал преподавать иностранные языки. Он написал автобиографию, в которой изложил свои методы вычислений. Умер Колберн в 1840 г.

Современником Колберна был другой мальчик-самоучка, Джордж Паркер Биддер, наделенный исключительными способностями такого рода. Быть может, это самый интересный из чудо-вычислителей, ибо, даже получив впоследствии широкое образование, он сохранил свой вычислительный дар. На склоне лет Биддер проанализировал и объяснил методы, которыми он пользовался.

Биддер родился в 1806 г. в Мортон-Хэмпстеде (графство Девоншир, Великобритания) в семье каменщика. В возрасте шести лет его научили считать до ста. Посланный в деревенскую школу, он почерпнул там немного и в начале своей <вычислительной карьеры> абсолютно не разбирался в арифметических терминах и числовых символах. Вооруженный лишь умением считать, он самостоятельно научился складывать, вычитать и умножать числа, меньшие 100, перебирая и перекладывая бусинки или пуговицы.

В дальнейшем он придавал большое значение этим конкретным представлениям и был убежден, что его способности развились именно благодаря тому, что в свое время он ничего не знал о числовых символах. В семилетнем возрасте, услышав спор соседей о стоимости какого-то товара, продававшегося на фунты, он поразил их заявлением, что они оба ошиблись, и назвал правильную цену. После этого жители деревни с удовольствием предлагали ему разнообразные арифметические задачки.

Репутация Биддера как вундеркинда-вычислителя неуклонно росла, и едва ему исполнилось девять лет, как отец, вознамерившись заработать на способностях сына, отправился с ним в <гастрольную поездку> по стране.

В 1817 г. Биддера увидели двое выпускников Кембриджского университета, ставшие впоследствии знаменитыми учеными - Томас Джефсон (бывший в то время наставником в колледже Сент-Джонз) и Джон Гер-шель. Потрясенные собразительностью мальчика, они собрали деньги на его обучение и уговорили отца отказаться от эстрадных выступлений. Но через несколько месяцев Биддер-старший, не смирившись с потерей легкого заработка, заставил сына вернуться и снова стал демонстрировать публике его способности. В 1818 г. юный Биддер состязался с Колберном - и в целом оказался более способным вычислителем. В конце концов отец и сын приехали в Эдинбург; здесь в дело вмешались профессора Эдинбургского университета, которые убедили Биддера-старшего предоставить им право позаботиться от образовании сына. Мальчик остался в Эдинбурге, окончил университет и вскоре овладел профессией инженера-строителя, достигнув на этом поприще больших высот. Умер он в 1878 г.

От постоянных упражнений способности Биддера непрерывно развивались. В своих ранних выступлениях он делал примерно то же, что Бакстон и Колберн. Кроме вопросов, касающихся произведений чисел или нахождения числа каких-то определенных единиц в заданном количестве, он начиная с 1819 г. успешно справлялся с множеством других задач: извлекал квадратные, кубические и т. д. корни из больших чисел (если корни были целыми); позднее он объяснил свой несложный в применении метод: это тот же метод, которым пользовался Колберн. К этому времени Биддер научился также мгновенно решать простейшие задачи на сложные проценты и залачи, связанные с подсчетом ренты, что особенно восхищало его современников. В разложении чисел на множители его успехи были скромнее, чем у Колберна, и, как правило, если число было больше 10 000, он не мог сразу дать ответ. Как и Колберну, ему часто приходилось сталкиваться с насмешками, но он умел постоять за себя. Когда во время одного из выступлений в Лондоне в 1818 г. Биддера спросили, сколько понадобится бычьих хвостов, чтобы достать до Луны, Биддер не задумываясь ответил: <Один, если он достаточно длинный>.

Приведем несколько типичных вопросов, которые Биддеру задавали на выступлениях в 1815 - 1819 гг. Они взяты из подлинных записей, содержащих сотни подобных задач, - принципиально трудных среди них мало. Он работал очень быстро; однако записи вели малоквалифицированные люди, и потому указанное там время, затраченное Биддером на ответ, дает лишь приблизительное представление об истинной скорости его работы. Все вычисления Биддер производил в уме без помощи книг, карандаша и бумаги. В 1815 г., когда ему было 9 лет, его спросили: "Если Луна удалена от Земли на расстояние 123256 миль, а звук распространяется со скоростью 4 мили/мин, то через сколько времени жители Лупы могли бы узппть о битве при Ватерлоо?> Ответ: 21 сутки 9 часов 34 минуты - был дан менее чем через минуту. В 1816 г., когда ему было 10 лет и он только что научился писать, но еще не умел записывать числа, он легко отвечал на вопросы такого типаз какие проценты нарастут с 11111 фунтов стерлингов за 11 111 дней при 5% годовых? Ответ: 16911 фунтов 11 шиллингов - был дан через минуту. Сколько хогсхедов сидра получится из миллиона яблок, если из 30 яблок получается одна кварта? Для ответа: 132 хогсхеда 17 галлонов 1 кварта и 10 яблок в придачу - потребовалось 35 секунд. Если колесо имеет в окружности 5 футов 10 дюймов, то сколько оборотов оно совершит на пути в 800000000 миль? Ответ: 724114285704 оборота и 20 дюймов в остатке - дам через 50 секунд. Чему равен квадратный корень из 119550669121? Ответ: 345761 - дан через 30 секунд. В 1817 г., когда Биддеру было 11 лет, его спросили: сколько времени нужно, чтобы наполнить резервуар объемом в одну кубическую милю, если в него вливается из реки 120 галлонов в минуту? Ответ дан через 2 минуты. Уильям Гершель задал такую задачу: предполагая, что свет доходит от Солнца до Земли за 8 минут и Солнце находится на расстоянии 98000000 миль, определить, на каком расстоянии от Земли находится ближайшая звезда, если известно, что свет от нее доходит до Земли за 6 лет 4 месяца, а в году 365 дней 6 часов и в каждом месяце 28 дней. Ответ: 40633740000000 миль. В 1818 г. на одном из выступлений Биддера спросили: <Маятник часов раскачивается на 93/4 дюйма в секунду; сколько дюймов он пройдет за 7 лет 14 суток 2 часа 1 минуту 56 секунд, если считать, что год состоит из 365 дней 5 часов 48 минут 55 секунд?> Ответ: 2 165 625 744 3/4 дюймов - дан быстрее чем через минуту. Если я торгую наручными часами, и всего их у меня 42, первые часы я продаю за один фартинг, а цену каждых следующих удваиваю, то сколько будут стоить последние часы?> Ответа 2290649224 фунта 10 шиллингов 8 пенсов. "Если диаметр монеты в 1 пенс равен 1³/⁸ дюйма, то сколько понадобится денег (в фунтах стерлингов), чтобы выложить по окружности земного шара "дорожку" из этих монет, укладывая их вплотную друг к другу, при условии что окружность составляет 360 градусов, а в одном градусе 69,5 миль?" Ответ: 4803340 фунтов - дан через одну минуту. Найти два числа, разность которых равна 12, а произведение, умноженное на сумму, равно 14560. Ответ: 14 и 26. В 1819 г., когда Биддеру было 14 лет, его попросили найти число, куб которого, уменьшенный на 19, в произведении с этим кубом дает куб числа 6. Ответ: 3 - был дан мгновенно. <Во что обойдется строительство дороги длиной в 21 милю 5 фарлонгов 37 полей 4 ярда, если прокладка 1 мили стоит 123 фунта 14 шиллингов 6 пенсов?> Ответ: 2688 фунтов 13 шиллингов 93/4 пенса - дан через две минуты. <Если вы тратите ежедневно полкроны, вам сейчас 14 лет и вы проживете еще 50, сколько фартингов вы истратите за всю свою жизнь?> Ответ: 2805 120 - дан через 15 секунд. Г-н Мур заключил контракт на освещение города Лондона 22965321 лампой; подрезка фитиля и зажигание одной лампы обходится в 7 фартингов, каждые три лампы потребляют 2/э пинты масла, галлон масла стоит 3 шиллинга 7'/2 пенсов. Его прибыль составила 16'/2 процентов от затрат. Сколько галлонов масла было израсходовано, каковы были затраты г-на Мура и на какую сумму заключен контракт? Ответ: расход масла 212641 галлонов, затраты составили 205996 фунтов 16 шиллингов 13/4 пенса, а сумма контракта - 239986 фунтов 13 шиллингов 2 пенса.

Следует отметить, что Биддер мысленно представлял себе числа, скажем 984, не как записанные в символах, а конкретно - как соответствующее количество единиц, которые можно распределить на 24 группы по 41 единице в каждой. Подобно другому вычислителю, Иноди, о котором будет сказано ниже, он воспринимал числа в основном на слух. "Что касается меня, - писал он позднее, - то, хотя я и привык видеть задачи и величины выраженными в обычных символах, но все же, если я собирался удержать в памяти какое-то число цифр, написанных на бумаге, это требовало гораздо больше времени и значительно более сильного напряжения, чем когда я воспринимал их на слух>. Допустим, требовалось, например, найти произведение двух чисел, каждое из девяти цифр; если их <читали мне, то никогда не нужно было повторять это дважды, если же их записывали обычным образом и давали мне в руки, то мне приходилось внимательно рассматривать их раза по четыре, прежде чем я мог их повторить, - но и после этого они не запечатлевались столь живо в моем воображении".

Биддер сохранил свой талант быстро считать в уме до конца жизни, что очень пригодилось ему как постоянному парламентскому консультанту по техническим вопросам. Незадолго до смерти он продемонстрировал свои способности одному приятелю, который, говоря о последних научных открытиях, заметил, что длина волн, вызывающих ощущение красного цвета, так мала, что 36918 этих длин помещаются в одном дюйме. Если свет, распространяется со скоростью 190 000 миль в секунду, то каким громадным должно быть число волн, попадающих на сетчатку глаза в одну секунду, чтобы дать ощу-. щение красного! <Не трудитесь считать, - сказал Биддер, - это число 444 433 651 200 000>.

Другие члены семьи Биддера тоже обладали выдающимися способностями подобного рода и необычайной памятью. Один из старших братьев Биддера стал актуарием (статистиком страхового общества); рассказывают, что, когда при пожаре сгорели его регистрационные книги, он за шесть месяцев переписал их по памяти, но после этого умер от воспаления мозга. Второй брат был членом секты "Плимутская братия" и знал наизусть всю Библию, причем для каждой цитаты мог назвать главу и номер стиха. Старший сын Биддера, известный юрист, мог перемножить в уме два пятнадцатизначных числа. Он не достиг уровня отца ни в точности, ни в быстроте, да, собственно, никогда и не собирался безраздельно посвятить себя развитию этих способностей. Он говорил, что при счете в уме оперирует изображениями чисел: <Если я решаю пример в уме, то всегда представляю себе определенные зрительные образы; я не знаю другого способа устного счета>. Таким образом, его метод был противоположен тому, которым пользовался отец. Его сын и дочь, представители третьего поколения чудо-вычислителей, унаследовали подобные способности.

Далее я назову Анри Мондье и Вито Манджамеле. Оба они родились в 1826 г. в бедных семьях, были пастухами, в детстве проявили большую ловкость в счете и прославились в своей округе. В 1839 г. Мондье, а в 1840 Манджамеле привезли в Париж, где они демонстрировали свое искусство перед публикой. Их <экзаменовали> Араго, Коши и др. Более впечатляющими были выступления Мондье. В частности, когда ему предложили решить уравнение x3 + 84 = 37х, он сразу назвал два корня: 3 и 4, упустив, однако третий корень: - 7. Затем его попросили найти решения неопределенного уравнения х2 -y2 = 133; он сразу назвал 66 и 67. Когда же его попросили отыскать решение попроще, он через мгновение ответил: 6 и 13. Однако я не буду подробно говорить об этих ребятах, поскольку высказывались подозрения, хотя и не подтвержденные, что они действовали не совсем честно, и были обучены теми, кто их использовал, определенным приемам, позволявшим симулировать способности, которыми они на самом деле не обладали. В конце концов оба они вернулись в свои деревни, и ученый мир потерял к ним интерес. Если Мондье действительно был самоучкой, то мы должны признать за ним честь открытия некоторых алгебраических теорем, что позволяет отнести его к рангу математических гениев; однако в таком случае кажется невероятным, что в дальнейшем он ничего более не сделал и что его способности не нашли иного проявления.

Более интересный пример - Иоганн Мартин Захария Дазе. Он родился в Гамбурге в 1824 г., получил приличное образование и имел все возможности для развития своих способностей; однако кроме решения вопросов, связанных с числами и расчетами, он ни в чем не преуспел и при этом поражал зрителей своей вялой медлительностью. До конца своих дней Дазе так и не постиг геометрии; он также не знал ни одного языка, кроме немецкого. Он был просто исполнительным работником, занимая различные мелкие должности в Германии. Свои вычислительные способности Дазе демонстрировал в Германии, Австрии и Англии. Умер он в 1861 г.

На "гастролях" в Вене в 1840 г. он познакомился со Страшницким, который уговаривал его использовать свой дар в научных целях. Дазе охотно согласился -и на этой почве состоялось его знакомство с Гауссом, Шумахером, Петерсеном и Энке. О его вкладе в науку я расскажу позже. Из числа его достижений в устном счете я нашел только упоминания о решении задач на умножение, типа умножить 79532853 на 93758479; этот вопрос задал ему Шумахер - ответ был дан через 54 секунды. Чтобы сосчитать произведение двух двадцатизначных чисел, ему понадобилось 6 минут; на перемножение двух сороказначных чисел он затратил 40 минут, а двух чисел, содержащих по сто цифр, - 8 часов 45 минут. По мнению Гаусса, решение последнего вопроса на бумаге заняло бы у опытного вычислителя вдвое меньше времени. Однажды Дазе за 52 минуты извлек квадратный корень из числа, состоящего из 100 цифр. Это достижение намного превосходит все другие подобные рекорды; с ним может сравниться разве что возведение в квадрат 39-значного числа, которое выполнил Бакстон, или извлечение квадратного корня из 53-значного числа, произведенное Валлисом. Однако Дазе иногда допускал ошибки, а однажды (в 1845 г.) на все поставленные ему вопросы отвечал неправильно. Правда, в тот день он страдал головной болью, так что подобная неудача вполне объяснима.

Как и другие чудо-вычислители, Дазе обладал великолепной памятью и через час-два после выступления мог повторить все упомянутые на нем числа. Он отличался еще одной интересной особенностью: с первого взгляда мог определить (с точностью примерно до 30) количество овец в стаде, число книг в шкафу и т. д., а также мог мысленно представлять и запоминать большое число предметов. Например, поглядев секунду на открытые кости домино, он назвал сумму очков на них (117); на вопрос о количестве букв в выбранной наугад строке на печатной странице большого формата он мгновенно дал правильный ответ (63); за полсекунды он запомнил двенадцать показанных ему цифр и мог сразу, сказать, какая цифра стоит на любом названном месте, j Остается только пожалеть, что так мало известно об этих его выступлениях. Те, кто знаком с захватывающей автобиографией Робер-Гудена^*, вспомнят, как маэстро развивал в себе подобные способности и как пригодились они в его искусстве.

Если Дазе разрешалось пользоваться карандашом и бумагой, он выполнял любые вычисления неправдоподобно быстро и всегда безошибочно. Когда Дазе было 16 лет, Страшницкий, научив его пользоваться известной формулой, pi/4 = arctg(1/2) + arctg(1/5) + arctg(1/8),

попросил вычислить с помощью этой формулы число pi. Через два месяца Дазе дал приближенный результат-до 205-го знака (включительно) после запятой. Нз них первые 200 знаков оказались верными^*. Другими достижением Дазе было вычисление семизначных натуральных логарифмов первых 1005000 чисел. Он делал это в свободное время в период 1844-1847 гг., когда участвовал в топографических работах в Пруссии. В последующие два года он составил (тоже в свободное время) таблицу гиперболических функций для военных расчетов, которая была издана австрийским правительством в 1857 г. Позже он предложил составить таблицу разложений на множители всех чисел от 7 до 10 миллионов; по рекомендации Гаусса Гамбургская академия наук согласилась оказать Дазе материальную помощь, чтобы он мог Максимально сосредоточиться на этом занятии, однако за оставшуюся часть жизни он успел завершить лишь примерно половину работы.

Еще один чудо-вычислитель, Трумен Генри Саффорд, родился в 1836 г. в Роялтоне (штат Вермонт, США). Он был человеком иного типа: получил хорошее образование, окончил Гарвардский университет и в конце концов Стал астрономом. Я установил, что, хотя Саффорд всегда умел быстро считать, свои юношеские феноменальные способности в этой области он постепенно утратил. Умер он в 1901 г.

Саффорд никогда не выступал перед публикой, и я узнал о нем лишь из сообщений, процитированных Скрипчером и Митчеллом; судя по этим собщениям, он обладал типичными для подобных вычислителей способностями. В 1842 г. он развлекал и поражал расчетами в уме свою семью. В 1846 г. в возрасте 10 лет он подвергся испытаниям, на которых ему были предложены следующие задачи. Извлечь кубический корень из семизначного числа (ответ дан сразу). Найти такое число, после деления которого на произведение составляющих его цифр получается 3, а после прибавления к нему 18 его цифры переставляются в обратном порядке (ответ: 24 - был дан примерно через минуту). Найти площадь поверхности правильной пирамиды, основание которой -правильный пятиугольник со стороной 33,5 фута, а высота боковой грани 17 футов (ответ: 3354, 5558 квадратных футов - дан через две минуты). Когда Саф-форда попросили возвести в квадрат 18-значное число, он потратил на это меньше минуты; правда, дело облегчалось тем, что в этом числе шесть раз повторялись одни и те же три цифры: 3, 6, 5. Подобно Колберну, Саффорд легко разлагал на множители большие числа. В таких случаях он действовал эмпирически: выбирал вероятные множители (он не мог объяснить, как) и за несколько секунд проверял их делением.

Позднее появились еще четыре вычислителя: итальянец Уго Дзамебоне (родился в 1867 г.), грек Перикл Диаманди (родился в 1868 г.), немец Карл Рюкле и Жак Иноди. Три первых чудо-вычислителя ничем особым не отличались среди своих <собратьев>, и о них я не буду рассказывать, а вот выступления Иноди заслуживают более подробного описания.

Жак Иноди [6] родился в 1867 г. в Онорато (Италия). В детские годы он пас скот, и в те долгие часы, когда позволяла работа, любил размышлять о числах; при этом он не пользовался никакими конкретными предметами вроде камешков. Способности Иноди к счету, впервые привлекли внимание примерно в 1873 г. Вскоре после этого его старший брат отправился в Прованс попытать счастья шарманщиком. Сопровождая его, юный Иноди оказался в гуще жизни и сумел заработать несколько монет, демонстрируя на улицах свое искусство. Им заинтересовались эстрадные антрепренеры - так в 1880 г. он попал в Париж. Во время выступлений ор покорял зрителей скромностью, честностью и непосредственностью. В те дни он не умел еще ни читать, ни писать; этому он научился позднее. В его первых выступлениях не было ничего особенно примечательного по сравнению с другими вычислителями, но благодаря непрерывной практике он постоянно совершенствовался. Так, выступая в 1873 г. в Лионе, он почти мгновенно перемножал два трехзначных числа. В 1874 г. он мог перемножать шестизначные числа. Через девять лет он уже очень быстро справлялся с перемножением девяти-десятизначных чисел. Еще позднее, в Париже, когда Дарбу предложил ему возвести в куб 27, он затратил на это всего 10 секунд. За 13 секунд он подсчитал, сколько секунд содержат 18 лет 7 месяцев 21 сутки и 3 часа, и мгновенно вычислил квадратный корень из одной шестой разности между квадратом 4801 и единицей. Легко подсчитал он и количество пшеницы, причитающееся Сете - изобретателю шахмат, который, согласно преданию, потребовал 1 зерно за первую клетку шахматной доски, 2 зерна - за вторую, 4 - за третью и т. д. в геометрической прогрессии.

Иноди умел находить целочисленные корни уравнений и целочисленные решения задач, но действовал только методом проб и ошибок. Особым, присущим только ему качеством была его замечательная способность представлять числа, меньшие 105, в виде суммы трех квадратов. Обычно он проделывал это за одну-две минуты. Он часто решал такие задачи в неофициальной обстановке, но не на эстраде, поскольку они требовали большого умственного напряжения.

Его выступления перед широкой публикой редко длились больше 12 минут и сводились к решению более простых задач. Обычная программа включала: вычитание одного 21-значного числа из другого; сложение пяти шестизначных чисел; перемножение двух четырехзначных чисел; извлечение кубического корня из девятизначного числа и корня пятой степени из двенадцатизначного; определение числа секунд в каком-то промежутке времени и дня недели, на который падает та или иная названная дата. Разумеется, вопросы задавали зрители. Для профессионального вычислителя такие задачи не содержат принципиальных трудностей. После того как числа назывались, Иноди медленно повторял каждое из них своему помощнику, который записывал его на доске, а потом медленно читал вслух, чтобы убедиться, что все правильно. Затем Иноди повторял число еще раз. К этому моменту задача обычно была уже решена, если же ему не хватало времени, он делал несколько замечаний общего характера, что не мешало ему в уме продолжать расчеты. Во время выступлений он всегда стоял лицом к зрителям, и то, что он никогда не оборачивался и не смотрел на доску, усиливало впечатление.

По всей вероятности, большинство чудо-вычислителей для запоминания чисел пользуются не только зрением и слухом, но и мышцами, управляющими артикуляцией. Раньше думали, что все вычислители мысленно представляют предлагаемые им числа в виде каких-то зрительных образов, и, действительно, некоторые из вычислителей действуют таким образом. Однако Иноди больше доверял слуху и артикуляции. Биддер тоже опирался в основном на слух, а если и представлял себе числа визуально, то не в виде цифровой записи, а как конкретный набор единиц, в случае составного числа разделенный на группы. Рюкле, напротив, представлял числа зрительно. Вероятно, память у разных вычислителей действует по-разному. Иноди мог мысленно воспроизводить звук собственного голоса, повторяющего цифры заданного числа; когда же ему показывали написанные числа, это скорее сбивало его, чем помогало. Для более полного проявления своих возможностей ему, по-видимому, нужна была и артикуляция; поэтому, прежде чем приступить к работе, он обычно повторял вслух предлагаемые ему числа. Для него имела значение последовательность звуков. Когда ему читали последовательность из 24 цифр, он запоминал ее на слух через 59 секунд и мог воспроизвести начиная с любого места в любую сторону. Мондье требовалось для этого пять минут. Числа, состоящие примерно из 100 цифр, Иноди запоминал подобным образом через 12 минут, Диаманди - через 25, а Рюкле - меньше чем через пять. Эта способность проявляется у вычислителей, только когда дело касается цифр; длинную последовательность букв они обычно запомнить не могут. Числа занимали Иноди больше всего на свете: он редко думал о чем-нибудь другом, они ему снились, а иногда он даже решал задачи во сне. Он обладал отличной памятью на числа, но вполне обычной (и даже хуже того) - на что-либо другое. В конце сеанса он мог повторить все заданные ему вопросы, в которых фигурировали сотни цифр, причем они сохранялись в его памяти в течение нескольких дней. Однажды его неожиданно спросили об одном 22-значном числе, которое встретилось в одном из вопросов, заданных ему на выступлении 8 дней назад, - и он тотчас назвал это число. Иноди многократно подвергали испытаниям; поэтому о нем известно больше, чем о его предшественниках, за исключением разве Биддера.

Рассказ Биддера о приемах счета, которые он придумал и успешно применял, содержится в лекции [7]^*, прочитанной им в 1856 г. на заседании общества инженеров-строителей. Прежде чем перейти к описанию его методов, уместно сделать два общих замечания, которые следует иметь в виду в дальнейшем. Во-первых, он описывает свои методы в их усовершенствованном виде, а необязательно такими, как он применял их в детстве; более того, на практике для ускорения работы он, возможно, пользовался и другими приемами, не описанными в лекции. Во-вторых, бесспорно (несмотря на его уверения в обратном), что он, как и другие чудо-вычислители, обладал великолепной памятью, которая еще более развилась от постоянных упражнений. Приведем только один пример. В 1816 г. на одном выступлении ему прочитали число задом наперед, т. е. называя цифры с конца. Он сразу же назвал его в прямом порядке. Через час его спросили, помнит ли он еще это число. Он немедленно повторил его без единой ошибки. Это число было: 2 563 721 987 653 461 598 746 231 905 607 541 128 975 231.

Два из четырех основных арифметических действии - сложение и вычитание - весьма просты и потому не представляют интереса. Единственный заслуживающий внимания момент - это то, что при сложении трех или более чисел Биддер всегда прибавлял их по одному, о чем говорят приведенные ниже примеры. По его мнению, для ускорения счета в уме нужно всегда стараться организовать работу так, чтобы на каждом этапе иметь дело только с одним фактом. Тем же отличалась работа Иноди.

Естественно, первой задачей, с которой столкнулся Биддер, было умножение одного числа на другое, и к шести годам он самостоятельно выучил таблицу умножения до 10 X 10. Скоро ему пришлось научиться решать примеры посложнее: любимец деревенского кузнеца, он часто проводил время в кузнице, и сидящим вокруг кузнечного горна мастерам нравилось задавать ему примеры на умножение. От произведений двузначных чисел, которые он называл мгновенно и без размышлений, он перешел к перемножению трехзначных и четырехзначных. Его старания вознаграждались мелкими монетами, и к восьми годам он научился перемножать шестизначные числа. Однажды ему удалось даже перемножить два числа из 12 цифр, но "это потребовало, сказал он, - много времени и мучительного напряжения".

Он пользовался в принципе тем же методом, что описывается в обычных учебниках, но по ходу дела складывал полученные результаты. Так, при умножении 397 на 173 он действовал следующим образом:

имеем	100 x	397 =	39 700
К этому нужно прибавить	70 x	300 =	21 000,	итого 60 700
то же	70 x	90 =	6 300,	итого 67 000
то же	70 x	7 =	490,	итого 67 490
то же	3 x	300 =	900,	итого 68 390
то же	З x	90 =	270,	итого 68 660
то же	З x	7 =	21,	итого 68 681

Мы сильно недооценим его быстроту, даже если дадим ему на каждый шаг по 1 секунде, - но и при столь низкой скорости он получил бы ответ уже через 7 секунд. При таком способе умножения ему на каждом шаге нужно сложить лишь два числа, а множители выбраны так, что у каждого только одна значащая цифра; это прием, характерный для всех чудо-вычислителей. Кроме того, на этом примере хорошо видно, что здесь Биддер как всегда, действует слева направо, и, хотя в школах учат по-другому, это естественный и самый удобный способ. В результате он находит произведение чисел (100 + 70 + 3) и (300 + 90 + 7), или (а + 6 + с) и (d + е + f), в виде ad + ае + ... + сf.

Таким способом умножение выполнялось настолько быстро, что, казалось, ответ готов мгновенно; практически получалось, что используется таблица умножения до 1000 X 1000. На этой основе, работая с очень большими числами, например перемножая 965446371 и 843409133, Биддер расчленял их на три группы по три цифры и действовал так, как будто 965, 446 и т. д. были цифрами в некой системе счисления с основанием 1000. Став старше, он научился решать подобные задачи примерно за 6 минут. По-видимому, труднее всего было запомнить результат предыдущего шага, а не выполнить само умножение.

Иноди умножал таким же способом, но он добивался того, чтобы один из сомножителей имел только одну значащую цифру. Иногда он использовал отрицательные величины, например представлял 27x729 как 27x(730-1); кроме того, он рассматривал 25x841 как 84100/4. При возведении в квадрат он обычно разбивал число в сумму а + b, выбирая а и b удобным образом и считая по формуле а² + 2ab + b².

Умножая на число какие-либо именованные величины, Биддер применял аналогичные приемы. Так, чтобы умножить 14 фунтов 15 шиллингов 6³/₄ пенса на 787, он действовал следующим образом;

Имеем	(787) (14) ф.	=	11018 ф. 0 ш. 0 п.,
к этому прибавляем
	(787) (15) ш.	=	590 ф. 5 ш. 0 п.
и получаем			11608 ф. 5. ш. 0 п.;
к этому прибавляем
	(787) (27) фарт.	=	22 ф. 2 ш. 8¹/₄ п.
и получаем			11630 ф. 7 ш. 8¹/₄ п.

Деление Биддер выполнял в основном так, как учат в школе, но умение молниеносно перемножать большие числа позволяло ему сразу указывать правильный результат, избавляя от ненужной работы. Так же действовал Иноди. Примеры на деление с остатком представляли большую трудность. Биддер справлялся с ними лучше, чем большинство других вычислителей, но и у него они занимали гораздо больше времени, чем деление без остатка. На публичных выступлениях трудные примеры на деление обычно запрещались, что специально оговаривалось условиями сеанса.

Если Биддер знал, что в данном примере на деление остатка нет, он часто пользовался системой двузначных окончаний. Например, при делении 25696 на 176 он сразу догадывался, что в ответе должно быть трехзначное число с 1 в качестве первой цифры слева. Далее он замечал, что только четыре двузначных числа (а именно 21, 46, 71, 96) после умножения на 76 дают число, оканчивающееся на 96. Значит, в ответе может получиться одно из следующих чисел: 121, 146, 171 либо 196. Его опыт сразу же подсказывал, что 121 слишком мало, а 171 слишком велико и, значит, правильный ответ 146. Если он испытывал сомнения, то умножал 146 на 176 (что, по его словам, он мог делать <мгновенно>) и таким способом проверял полученный результат. Интересно отметить, что, когда Биддеру, Колберну и некоторым другим чудо-вычислителям были заранее известны'две последние цифры произведения двух чисел, они уже знали (быть может, подсознательно), что две последние цифры сомножителей имеют некоторый специфический вид. Эти закономерности подробно рассмотрены Митчеллом.

При делении Биддер часто пользовался приемом, который я буду называть процессом цифровки. На первый взгляд он кажется более трудоемким, чем обычный способ, но Биддер действовал с его помощью молниеносно - и это, как я полагаю, была его индивидуальная особенность. Назовем цифровкой числа цифру, которая получится, если найти сумму цифр этого числа, затем сумму цифр полученной суммы и т. д. - пока сумма не станет меньше 10. Цифровка числа равна цифровке произведения цифровок его множителей. Применим это свойство, как делал Биддер, для того чтобы узнать, делится ли 23141 на 71. Цифровка числа 23141 равна 2. Цифровка 71 равна 8. Значит, если 71 - один множитель, то цифровка второго множителя должна равняться 7, ибо 7X8 - это единственное кратное 8, цифровка которого равна 2. Но единственное число, которое после умножения на 71 даст две последние цифры 41, - это 71. А так как второй множитель должен иметь три цифры и его цифровка равна 7, этим множителем может быть только 871. Но и при беглом взгляде видно, что число 871 слишком велико,. Значит, 71 не является множителем 23141. Биддер считал, что этот способ действует гораздо быстрее, чем прямая проверка делением на 71. В качестве второго примера проверим, делится ли 23141 на 73. Цифровка 23141 равна 2, а цифровка 73 равна 1, следовательно, если второй множитель существует, его цифровка должна равняться 2. Но так как последние две цифры рассматриваемого числа - это 41, последние две цифры второго (предположительного) множителя должны быть 17. Этот множитель состоит из трех цифр и имеет цифровку 2, значит, он может равняться только 317. Проверка (умножением на 73) показывает, что действительно 73 x 317 = 23141.

Когда Биддер начал выступать перед публикой, ему, конечно, предлагали много разнообразных задач на измерения. Решая их, он узнал и запомнил множество фактических данных, часто встречающихся в таких задачах: например, сколько секунд в году, унций в тонне, квадратных дюймов в акре, пенсов в ста фунтах; усвоил также элементарные правила, связанные с разными календарями, и т. д. Информация подобного рода обязательно должна храниться в памяти всех чудо-вычислителей.

На выступлениях Биддеру часто предлагали вопросы, связанные с квадратными и кубическими корнями, а позднее и с корнями более высоких степеней. Его мгновенные ответы вызывали восторженное изумление легковерной публики. Однако если в ответе получается целое число, то нахождение его - всего лишь ловкий трюк, доступный каждому. Не вдаваясь подробно во все эти правила, приведем лишь несколько примеров, иллюстрирующих метод Биддера.

Допустим, что требуется извлечь квадратный корень из числа 337561. Ясно, что ответом должно быть трехзначное число. Так как данное число лежит между 5002 = 250 000 и 6002 = 360 000, то первая слева цифра корня - это 5. Единственные двузначные числа, квадраты которых кончаются на 61, это 19, 31, 69, 81 - факт, известный Биддеру заранее. Значит, ответом может быть только одно из чисел: 519, 531, 569, 581. Далее он рассуждает так: 581 находится примерно в том же отношении к 500 и 600, что и 337561 к 250000 и 360000, поэтому в ответе должно получиться 581; свое предположение он за пару секунд проверяет прямым умножением. Точно так же Биддер действует при извлечении квадратного корня из 442 225. Сразу видно, что первая слева цифра ответа - это 6, а так как данное число кончается на 225, то последними двумя цифрами могут быть лишь 15, 35, 65 или 85. Положение, которое число 442225 занимает между 6002 и 7002, подсказывает, что нужно испробовать 65. Значит, ответ здесь равен 665 -и, выполнив проверку, он называет это число. Сходные приемы извлечения корней придумали и другие вычислители.

Для кубических корней (в случае, когда заданное число является точным кубом) подобный метод действует еще быстрее. Так, при извлечении кубического корня из 188132517 Биддер сразу замечает, что ответ должен быть трехзначным, а так как 53 = 125 и 63 = = 216, то его левая цифра - 5. Единственное двузначное число, куб которого кончается на 17, - это 73. Значит, ответ равен 573. Аналогично кубическим корнем из 180362125 должно быть трехзначное число, начинающееся с 5 и кончающееся на 65 или 85. Чтобы сделать правильный выбор, Биддер в уме находит куб 560 и, убедившись, что это число близко к заданному, предполагает, что ответ равен 565, и проверяет это, возводя его в куб. Как правило, обнаружить таким способом кубический корень с пятеркой на конце чуть-чуть труднее, чем с другой цифрой. Но заданное число должно делиться в этом случае на 53 = 125; поэтому можно выполнить это деление и дальше применить тот же прием к частному. Так, указанное выше число 180362 125 равно 53 x 1 442 897, и его кубический корень находится cpaзy 5x113, т.е. 565.

Для точных корней более высоких степеней этот процесс еще более упрощается, а для корней 5-й степени он смехотворно прост, так как в этом случае последняя цифра корня всегда совпадает с последней цифрой заданного числа. Если, например, предлагается извлечь корень 5-й степени из числа, меньшего 1010, то в ответе должно получиться двузначное число. Поэтому достаточно помнить пятые степени чисел 10, 20, ..., 90, чтобы определить первую цифру корня; остается только выяснить, где между этими степенями лежит заданное число. Установив это и присоединив последнюю цифру, можно мгновенно назвать ответ. Если корень извлекается из большего числа, но не превосходящего 1015, то ответ содержит три цифры, из которых средняя находится почти так же быстро, как и две остальные. Это скорее трюк, чем рекорд устного счета.

На более поздних выступлениях Биддеру иногда предлагали извлечь корень из числа, не являющегося точной степенью. В таком случае точное значение корня содержало дробную часть, и нужно было найти ближайшее к нему целое число. Если Биддер подозревал, что корень нацело не извлекается, он проверял это, <отбрасывая девятки>, и, убедившись в своей правоте, дальше действовал подбором наилучших значений. Если ответ должен содержать три или более цифр, то извлечение корня становилось для вычислителя слишком большой нагрузкой; поэтому на публичных выступлениях подобные вопросы обычно запрещались.

Замечательные успехи Колберна в разложении чисел на множители привели к тому, что аналогичные вопросы стали задавать Биддеру, и он постепенно выработал определенные приемы, но, как мне кажется, так и не достиг высокого мастерства в этой области устных вычислений. Разумеется, он без труда выделял множители, являющиеся степенями двойки или пятерки, и почти так же быстро расправлялся со степенями тройки. Для нахождения множителей, близких к квадратному корню из заданного числа, он всегда пытался представить это число в виде а2 - b2, после чего множители становятся очевидными. Другие множители он пытался найти описанным выше методом цифровки.

Биддер славился тем, что почти мгновенно справлялся с задачами на сложные проценты и вычисление размеров ренты. Это был его конек, хотя методом он пользовался совсем не простым. Рассмотрим для примера, как он определял сложные проценты на сумму 100 фунтов за 14 лет при 5% годовых. Сначала он высчитывал простые проценты, 14x5 фунтов - 70 фунтов. К концу первого года увеличение капитала составило 5 фунтов, на них наросло 5 шиллингов, т. е. одна крона, и так происходило 13 лет; к концу второго года капитал увеличился еще на 5 фунтов, а годовой процент составил 5 шиллингов, и так в течение 12 лет. Таким образом, к 70 фунтам нужно прибавить (13+12+ ... ... +1) крон, т. е. (13/2) (14) (5) шиллингов, или 22 фунта 15 шиллингов 0 пенсов, и в сумме получится 92 фунта 15 шиллингов 0 пенсов. Таким же образом 5 шиллингов, полагающиеся в конце второго года (как проценты на 5 фунтов прироста в конце первого года), дают годовой процент 3 пенса. В сумме все эти доходы по три пенса составят (12/3)(13/2)(14)(3) пенсов, или 4 фунта 11 шиллингов 0 пенсов, что после прибавления к предыдущей сумме (92 фунта 15 шиллингов 0 пенсов) даст 97 фунтов 6 шиллингов 0 пенсов. К этому нужно прибавить полученную в силу тех же соображений величину (11/4) (12/3) (13/2)(14) (3/20) пенсов, т. е. 12 шиллингов 6 пенсов, что даст 97 фунтов 18 шиллингов 6 пенсов. К этому нужно добавить (10/5) (11/4)Х Х(12/3) (13/2) (14) (3/400) пенсов, т. е. 1 шиллинг 3 пенса, что вместе с предыдущим составит 97 фунтов 19 шиллингов 9 пенсов. К этому опять нужно добавить (9/6)(10/5)(11/4)(12/3)(13/2)(14)(3/8000) пенсов, т. е. 1 пенс, после чего получится 97 фунтов 19 шиллингов 10 пенсов. Все остальные слагаемые в сумме не превысят фартинга; поэтому Биддер сразу называет ответ: 97 фунтов 19 шиллингов 10 пенсов. Расчет в этом конкретном случае занял у него около минуты - гораздо меньше времени, чем потратило бы на него большинство математиков, пользуясь таблицей логарифмов. Сейчас мы увидим, что в процессе решения этой задачи Биддер фактически занимался суммированием рядов.

В обычных обозначениях сумма сложных процентов в данном случае равна (1,05)14Х100 фунтов. Обозначим 100 фунтов через Р, а 0,05 через r. Тогда эта сумма равна Р(1 + г)14, т. е. Р(1 + 14r + 91г2+ ...); при малых г ряд быстро сходится. Путем разработанной им системы рассуждений Биддер находил последовательные члены ряда и отбрасывал члены более высокого порядка, как только они становились достаточно малыми.

В своей лекции Биддер заметил, что если бы его способности к запоминанию результатов были не хуже других его умственных способностей, то он мог бы легко вычислять логарифмы. Через несколько недель он действительно занялся этой задачей и разработал метод вычисления в уме значений логарифмов с точностью до седьмого-восьмого знака после запятой [8]. По просьбе Биддера его <проэкзаменовал> приятель, в ответ на вопросы которого он вычислил логарифмы чисел 71, 97, 659, 877, 1297, 8963, 9973, 115249, 175349, 290011, 350107, 229847, 369353 с точностью до восьмого десятичного знака, затратив на каждый расчет от 30 секунд до 4 минут. Все эти числа простые. В основном ответы Биддера были правильными, но в ряде случаев он допускал ошибки, правда, не более чем в одной цифре; все ошибки он моментально исправлял, как только ему указывали на них. Особенно поражает то, что эти свои потрясающие достижения Биддер продемонстрировал уже в возрасте за 50 лет.

Достойным завершением этой главы будет рассказ об Александре Крэйге Айткене, который был не только одним из самых выдающихся чудо-вычислителей, но и первоклассным математиком: он автор четырех книг и около 70 статей. Айткен родился в 1895 г. в Данидине (Новая Зеландия). Участник первой мировой войны, он получил в 1917 г. серьезное ранение. В 1923 г. Айткен перебрался из Новой Зеландии в Шотландию, в Эдинбург. Его диссертация на соискание степени доктора философии оказалась настолько значительной, что ему присудили более высокую степень - доктора наук. Всю жизнь он преподавал в Эдинбургском университете и в 1946 г. получил должность профессора математики, которую до него занимал Эдмунд Уиттекер. Айткен был замечательным педагогом, чутким и внимательным к своим студентам. Его феноменальные способности к устному счету [9] отчасти основывались на великолепной памяти. Он наизусть цитировал длинные отрывки из Вергилия или Мильтона. Как-то он заметил, что ему приходится очень осмотрительно выбирать развлекательное чтение, ибо потом ему трудно забыть прочитанное. Изредка он выступал перед публикой, мгновенно выполняя умножение, деление, извлечение квадратных и кубических корней или выписывая на доске (по памяти) 707 найденных Шенксом знаков числа я (см. с. 379). Когда в 1945 г. Фергюсон показал, что начиная с 528-го знака после запятой у Шенкса допущена ошибка, Айткен с легкостью запомнил правильные значения вплоть до 1000-го знака (по утверждению Дж. Ч. П. Миллера - до 2000-го). Однажды он обмолвился, что запоминает <ритмически>. Еще большее впечатление производила его способность быстро вычислять некоторые определители.

Айткен с успехом соревновался с голландским вычислителем Вимом Клейном, который знал таблицу умножения вплоть до 100x100, но не обладал математическими познаниями, которые позволили бы ему в разумных пределах сокращать вычислительную работу. Айткен часто производил вычисления подсознательно. Он говорил, что некоторые результаты "выплывают из мрака"; например, о каком-то конкретном числе он мог сказать, что "по ощущению оно простое", - и оно на самом деле оказывалось простым. Айткен относился к тем немногим людям, которые с числами "на дружеской ноге". Он обнаружил, в частности, одно интересное свойство числа 163, обратив внимание на то, что e^piV163 отличается от целого числа меньше чем на 10¹². Как он однажды сказал, "близкое знакомство с числами, приобретенное по врожденной склонности и отточенное благодаря упорным тренировкам, действительно позволяет проникнуть в самые глубокие теоремы алгебры и анализа".

Друзья и ученики Айткена с теплотой вспоминают о его доброте и терпении. Он был, кроме того, и одаренным музыкантом - играл на скрипке и альте, сочинял песни, фортепьянные пьесы и даже оркестровые произведения (как он сам говорил, "строгие и сдержанные").

В 1965 г. в связи с ухудшением здоровья Айткен оставил кафедру математики; через два года после этого он умер.

1. Scripture E. W. American Journal of Psychology, 1891, vol. IV, pp. 1-59.

2. Mitchell F. D. American Journal of Psychology, 1907, vol. XVIII, pp. 61-143.

3. Muller G. E. Zur Analyse der Gedachtnistatigkeit und des Vorstellungsverlaufes. - Leipzig, 1911.

4. Maenncher P. Nachrlchten der Koniglichen Gesellschaft der Wissenschaft zu Gotfingen, 1918 (Beiheft 7), S. 1-47,

5. Crelle's Journal, 1844, vol. XXVII, p. 198.

6. Charcot et Darboux. Memoires de I'lnstitut, Cotnptes Rendus, 1892, vol. CXIV, pp. 275, 528, 578; Binet. Revue des deux Mondes, 1892, vol. CXI, pp. 905-924.

7. Proceedings of the Institution of Civil Engineers (London), 1856, vol. XV, pp. 251-280.

8. Pole W. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, 1890-1891, vol. GUI, p. 250.

9. Aitken A. C. The Art of Mental Calculation; with Demonstrations, In: Transactions of the Royal Society of Engineers (London), 1954, vol. XLIV, pp. 295-309. См. также некролог в Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 1968, vol. XVI (ser, II), part 2, pp. 151-176.

^* Большинство данных о чудо-вычислителях (или, как их часто называют, "счетчиках") собрано Скрипчелом [1], Митчеллом [2], а также Мюллером [3]. В своем рассказе я во многом опирался на эти статьи и в некоторых случаях, когда но мог обнаружить нужную информацию в первоисточниках, целиком полагался на названных авторов. В указанных работах можно найти и многочисленные библиографические ссылки.

^* Методы, которые применял Гаусс, подробно описаны в работе [4].

^* Жан Этьен Робер-Уден (1805-1871) - французский иллюзионист. - Прим. перед.

^* Его результаты опубликованы в [5]; о более точных приближениях и более простых формулах см, гл. XII.

^* С более ранним наброском лекции Биддера можно ознакомиться по рукописи; позднейшие варианты этой лекции интересны тем, что позволяют проследить за развитием, но мы не будем на них останавливаться.