НОРМАЛЬНОЕ ЧИСЛО ПИ

У математиков появился инструмент для изучения нормальности числа Пи.

Леонид Завальский.
Статья скопирована с сайта Известия науки с любезного разрешения автора.

Рассказывают, что однажды в Афинах разразилась чума, никак не желавшая покидать город. Тогда решено было обратиться за советом к оракулу на острове Делос, откуда был получен следующий ответ: "Удвойте алтарь в храме Аполлона!" Поскольку алтарь имел форму куба, афиняне немедленно соорудили другой алтарь, ребра которого были в два раза больше прежних. Однако чума не унималась. Недоуменные афиняне потребовали у жрецов объяснения. "Вы увеличили объем алтаря в восемь раз, тогда как было сказано в два раза", – ловко парировали жрецы. Так родилась знаменитая делосская задача о соизмеримости стороны и диагонали квадрата, а вместе с ней и до сих пор волнующие воображение исследователей проблемы современной теории чисел.

В то время основные геометрические построения выполнялись при помощи циркуля и линейки и сводились к нахождению точек пересечения линий и окружностей. В своих "Началах" Евклид первый доказал невозможность построения имеющимися подручными средствами диагонали квадрата по его стороне, а потому числа, выражающие эту несоизмеримость, в отличие от известных рациональных пропорций, были названы алогичными, или, как принято в современной терминологии, иррациональными. Сродни делосской задаче оказалась и проблема квадратуры круга, требующая построения при помощи циркуля и линейки квадрата, площадью равного площади заданного круга, и появилось число Пи, связывающее радиус окружности с ее длиной (или площадью круга).

Лишь в конце 16 века было установлено, что между рациональными и иррациональными числами имеется существенная разница: рациональные числа выражаются бесконечной периодической дробью, тогда как в записи иррациональных чисел нет периодичности цифр. Попутно заметим, что под "нормальными" числами современные математики понимают такие, в десятичной записи которых вероятность появления каждой из 10 значащих цифр равна 1/10, и ни одна последовательность цифр не должна превалировать над любой другой. Правда, в те давние времена математики так глубоко не копали.

В 17 веке Декарт представил математикам новый инструмент исследования – аналитическую геометрию. Теперь было установлено, что всякое построение при помощи циркуля и линейки сводится либо к решению конечной последовательности уравнений первой и второй степени с рациональными коэффициентами, либо к решению конечного числа уравнений второй степени, где первое уравнение имеет рациональные коэффициенты, а последующие могут иметь и иррациональные, полученные из предыдущих уравнений. Числа, являющиеся корнями алгебраических уравнений определенной степени, были названы алгебраическими и составили первый класс иррациональных чисел.

Заметим, что к тому времени не было доказано, является ли число Пи рациональным или иррациональным. На первом настаивали "квадратуристы", им возражали скептики. бесплодная дискуссия продолжалась до прихода Леонарда Эйлера, который ввел для обозначения числа Пи греческую букву и связал показательную функцию мнимого переменного exp(ix) с тригонометрическими функциями cosx и sinx в известном уравнении, из которого, в частности, следует exp(iPi)=-1. Здесь на сцену вышла еще одна знаменитая математическая константа e, о которой раньше математики ничего не знали. Число е оказалось не менее любопытным, чем Пи. После того, как Непер избрал число e в качестве основы для своей логарифмической системы, им стали повсеместно пользоваться.

Дальнейшее исследование числа Пи продолжалось разными путями. В 1767 году Ламберт впервые показал, что Пи является иррациональным числом, а в 1844 году Лиувилль установил, что существуют иррациональные числа, не являющиеся решением алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами. Эти числа получили название трансцендентных. Новая форма увлекла многих математиков. В 1873 году Шарль Эрмит дает новое доказательство иррациональности числа Пи и доказывает трансцендентность числа е. А 26 ноября 1882 года профессор Линдеман наконец публично доказывает долгожданную трансцендентность числа Пи и ставит крест на проблеме квадратуры круга.

Что удивительно, для решения проблем теории чисел современная математика прибегает к распределенным вычислительным экспериментам (обсуждение проблем трансфинитных множеств можно найти в статье "Игра с бесконечностью или горе от ума"), наподобие экспериментальной физики. Математические эксперименты требуют мощного программного обеспечения и манипулируют числами длиной в многие тысячи знаков (но не бесконечные). Дэвид Бэйли (www.nersc.gov/dhbaily/mpdist/), используя PLSQ-алгоритм, написал программу, позволившую открыть новую формулу для расчета числа Пи. В частности, привлечение большого числа волонтеров к программе распределенных вычислений позволило проверить известную гипотезу Римана (1859 год) о том, что все нетривиальные нули дзета-функции Эйлера находятся на прямой x=1/2. И хотя гипотеза Римана до сих пор не доказана и не опровергнута, на сегодняшний день методом распределенных вычислений при помощи 5 тысяч компьютеров удалось разыскать более 300 млн. нулей (www.zetagrid.net). Таким образом, с помощью современных компьютеров удается проводить эксперименты и совершать фундаментальные открытия.

В 1996 году, в Национальном научно-исследовтельском вычислительном Центре в Беркли, Бэйли с коллегами использовал компьютеры для вычисления таких фундаментальных математических констант, как log2 и некоторые другие. В ходе многомесячных вычислений ученые пришли в удивительному открытию формулы, позволяющей вычислить любой знак числа Пи без получения информации о старших разрядах, – достижение, считавшееся ранее невозможным.

Окрыленные успехом, японские математики использовали предложенный алгоритм для проверки миллионного знака числа Пи, а сформировавшаяся группа энтузиастов вскоре вычислила и квадриллионный знак. В связи с новыми открытиями серьезные математики задумались над вопросом: а является ли число Пи нормальным (см. выше). Директор Центра эмпирической и экспериментальной математики Университета Саймона Фрейсера в Британской Колумбии Борвейн скромно заявляет: "В настоящее время у нас нет возможности проверить нормальность даже одной константы. Но, возможно, формула, найденная компьютерной программой, позволит решить эту задачу". Вместе с Ричардом Крэнделлом из Колледжа Рида Борвейн показал, что найденный алгоритм позволяет перевести задачу о нормальности математических констант в другие, более изученные области математики, такие как теория хаоса и псевдослучайных чисел.

Ну а для сомневающихся не грех вспомнить анекдот, когда английская королева отписала математику Чарльзу Доджсону на его труды следующее замечание: "Зачем мне доказательство Вашей теоремы? Вы порядочный человек, и я порядочный человек, мне достаточно Вашего честного слова. Еще одно доказательство не способно испортить наши дружеские отношения."