Выдержки из книги Г. Секей. "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" М., Мир 1990. Выложена лишь малая часть парадоксов - самые популярные. Авторский текст частично изменен. Книгу любезно предоставил Рахимов А.Р.

Парадокс игры в кости.

Правильная игральная кость при бросании с равными шансами падает на любую из граней 1,2,3,4,5 или 6. (Сумма очков на противоположных гранях равна 7, т.е. падение на 1 означает выпадение 6 и т.д.)

В случае бросания 2х костей сума выпавших чисел заключена между 2 и 12. Как 9, так и 10 можно получить двумя разными способами:9=3+6=4+5 и10=4+6=5+5. В задаче с трем костями и 9 и 10 получаются шестью способами. Почему тогда 9 появляется чаще, когда бросают две кости, а 10, когда бросают три?

Парадокс де Мере.

При четырех бросаниях одной игральной кости вероятность того, что по крайней мере один раз выпадет 1, больше 1/2. В то же время при 24 бросаниях двух костей вероятность выпадения двух единиц одновременно (по крайней мере однажды) меньше 1/2. Это кажется удивительным, так как шансы получить одну 1 в шесть раз больше, чем шансы выпадения двух 1, а 24 как раз в 6 раз больше 4.

Объяснение. Если правильную кость бросают k раз, то число возможных (и равномерных исходов) равно 6^k. В 5^k случаях из этих 6^k кость не ляжет на 6, и, следовательно, вероятнось выпадения по крайней мере один раз 1 при k бросаниях равна (6^k-5^k)/6^k=1-(5/6)^k что больше1/2, если k=4. С другой стороны, величина 1-(35/36)^k, которая получается аналогично, все еще меньше 1/2 для k=24 и превосходит 1/2 начиная с k=25.

Парадокс раздела ставки

Два игрока играют в безобидную игру (то есть шансы на выигрыш одинаковы) и они договорились, что то, кто первым выиграет 6 партий, получит весь приз. Предположим, то на самом деле игра остановилась, до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл 5 партий, второй - 3). Как справедливо следует разделить приз? Большинство математиков (16-17в) считали, что в отношении 5:3, Тарталья считал, что 2:1, хотя Паскаль и Ферма установили, что 7:1. Кто из них прав?

Парадокс независимости.

Предположим, что бросают две правильные монеты. Пусть событие А - "на первой монете выпал герб", событие В - "на второй монете выпал герб" и событие С - "на одной (и только на одной) монете выпал герб". Тогда события А,В и С попарно независимы, но любые два из них однозначно определяют третье.

Парадокс бриджа.

Предположим, что в коалиции двух игроков на руках 26 карт, среди которых 6 козырей. Тогда наиболее вероятное распределение козырей следующее: 4 на одной руке и 2 на другой. Вероятность такого распределения в точности равна 78/161, что немного меньше 1/2, а вероятность распределения 3-3 несколько меньше 1/3, ее точное значение равно 286/805.

Теперь предположим, что дважды ходили с козырей и оба игрока в коалиции дважды положили козырные карты. В этом случае у коалиции остались лишь два козыря, причем, либо обе каты на одной руке, либо у каждого игрока по одному козырю. Если между двумя игроками распределяются 2 козыря и 20 других карт, то шансы того, что у одного игрока окажутся оба козыря, равны 10/21, вероятность второго варианта равна 11/21.

Итак, второй вариант наиболее вероятен, т.е. более вероятное распределение 1-1 получается из менее вероятного распределения 3-3. Нет ли здесь противоречия?

Парадокс лотереи (типа спортлото)

Большинство участников лотерей (в которых выигрыш распределяется между всеми победителями как в спортлото) обычно не ставят на "слишком симметричные" комбинации, хотя все комбинации равновозможны. Причина этого проста. Игроки по опыту знают, что, как правило, выигрывают не симметричные комбинации. В действительности выгоднее ставить на наиболее симметричные комбинации именно потому, что…. Почему?

Парадокс с подарками

Несколько человек решили сделать друг другу подарки следующим образом. Каждый приносит подарок. Подарки перемешиваются и случайно распределяются среди участников. Этот справедливый способ применяется часто, так как считается, что вероятность получения кем-то собственного подарка очень мала. Парадоксально, но вероятность по крайней мере одного совпадения намного больше вероятности того, что совпадения нет (кроме тривиального случая из двух человек). Почему так?

Примечание. Есть еще модель из n человек и n подарков, когда каждый человек получает случайное количество подарков. Кто-то может получить более 1 подарка, а другие не получат подарков совсем. Тогда подарки могут быть распределены nⁿ способами.

Пусть событии А зключается в том, что определенный человек не получит подарка. Тогда все n подарков распределятся среди n-1 человек, и это можно сделать (n-1)ⁿ способами. Таки образом, вероятность события А равна

Q_n =(n -1)ⁿ/nⁿ =(1-1/n)ⁿ и стремится оно к е^-1. Это и есть распределение Пуассона.

Петербургский парадокс.

Монета бросается пока не выпадет решка, если это произойдет на k-м бросании, то игрок плучает 2^k долларов из банка. То есть, с каждым бросанием выигрыш удваивается. Вопрос: сколько следует заплатить игроку за участие в игре, чтобы игра стала безобидной (с равными шансами, или средне значение, математическое ожидание выигрыша = 0)?

Парадокс смертности.

Эдмунд Галлей (открывший известную комету) в 1693 году составил таблицу смертности, положившую начало математической теории страхования жизни. По этой таблице средняя продолжительность жизни равна 26 годам, и вместе с тем с равными шансами можно умереть до 8 лет и прожить больше 8 лет. Как это увязать?

Парадокс закона больших чисел Бернулли.

Отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Некоторые игроки уверены, что при серии выпаданий орлов увеличивается вероятность выпадения решки. И в то же время у монет нет памяти, они не знают предыдущие броски и каждый раз вероятность выпадения орла или решки равна 1/2. Даже сли перед этим выпадали 1000 гербов подряд. Не противоречит ли это закону Бернулли?

Парадокс де Муавра.

Как уже сказано было в предыдущем парадоксе, по закону больших чисел Бернулли отношение выпадений герба или решки к общему числу попыток при большом числе бросаний стремится к 1/2. Или, другими словами, количество выпадений орлов равно количеству выпадений решек. С другой стороны, вероятность того, что число гербов в точности равно числу решек, стремится к нулю!

Например, при 6 бросаниях вероятность выпадения трех орлов равна 5/16, при 100 бросаниях вероятность выпадения 50 гербов равна 8%, при 1000 бросаний - 500 гербов - менее 2%, для достаточно больших n вероятность приближенно равна 1/sqrt(pi*n). Попытайтесь объяснить этот парадокс вслед за де Муавром.

Примечание. Так называемая Предельная теорема Муавра-Лапласа применяется для расчетов промышленных, социальных и производственных процессов.

Пуанкаре как-то заметил с сарказмом, что все верят в универсальность нормального распределения: физики верят, потому что думают, что математики доказали его логическую необходимость, а математики верят, так как считают, что физики проверили это лабораторными экспериментами.

Парадокс Бертрана.

Для некоторой окружности случайным образом выбирается хорда. Найти вероятность того, что эта хорда длиннее стороны правильного треугольника, вписанного в эту окружность. Парадокс утверждает, что эта вероятность определяется неоднозначно в зависимости от метода.

Метод первый.

Случайным образом (равномерно) в данном круге выбирается точка. Эта случайная точка определяет единственную хорду, серединой которой она является. Эта хорда длиннее стороны нашего вписанного правильного треугольника тогда и только тогда, когда ее середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходного круга, следовательно площадь его составляет 1/4 площади исходного. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранная точка лежит внутри вписанного круга, равна 1/4. Так что этот метод дает ответ 1/4.

Метод второй

Исходя из соображений симметрии, можем считать, что одним концом хорды является фиксированная точка на окружности. Пусть этой точкой является вершина вписанного треугольника. Выберем другой конец случайно с равномерным распределением. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, и случайная хорда длиннее стороны правильного треугольника, если она пересекает этот треугольник. Так что искомая вероятность теперь равна 1/3.

Третий метод

Выберем точку случайным образом равномерно на радиусе окружности и возьмем хорду, которая перпендикулярна этому радиусу и проходит через выбранную точку. Тогда случайная хорда длиннее стороны вписанного правильного треугольника, если случайная точка лежит на той половине радиуса, которая ближе к центру. Исходя из соображений симметрии, неважно какой радиус был выбран для построения, поэтому исходная вероятность равна 1/2.

Парадокс "Ребро монеты"

Если мы хотим, чтобы с равной вероятностью монета падала орлом, решкой или вставала на ребро, то ширина монеты, по одному из предположений, должна равняться диаметру, умноженному на tg 30=0.577… Так ли это?

Парадокс Бореля

Пусть случайная точка равномерно выбирается на поверхности шара (например, на Земле, считая Землю шаром). Вообще говоря, положение точки задается ее шириной и долготой. При данной широте долгота равномерно распределена, но при фиксированной долготе распределение широты не является равномерным. (Плотность этого распределения пропорциональна косинусу долготы.)

Следовательно, плотность случайной точки не одинакова, когда она находится на гринвичском меридиане или на экваторе, хотя и гринвичский меридиан и экватор являются окружностями на сфере, и поэтому их роль представляется одинаковой. Как же выбрать случайную точку?

Парадокс точности измерения

Предположим, что нам надо найти длину двух стержней с помощью двух измерений. Прибор, которым мы меряем длину, дает результат со случайной ошибкой, имеющей стандартное отклонение s. Парадоксально, но измерение каждого стержня по отдельности нем является лучшим способом. Стандартное отклонение результата будет меньше, если сначала измерить общую длину Т стержней, приложив конец одного стержня к концу другого, а затем положить стержни рядом и найти разницу их длин Д. Тогда приближенные длины стержней соответственно равны (Т+Д)/2 и (Е-Д)/2. Стандартное отклонение этих длин равно s/sqrt(2), что действительно меньше, чем s. Откуда же взялась дополнительная точность?

Парадокс времени ожидания.

Предположим, на некоторой установке указан интервал движения автобусов 10 минут. Тогда естественно считать, что люди ждут автобус в среднем 5 минут. Однако оказывается, что среднее время ожидания может не только превысить 5 минут, но и быть бесконечным!

Примечание. Если m - математическое ожидание, s - отклонение, то среднее время ожидания Т=( m²+ s²)/(2*m) и Т= m /2 только при s =0. Обычно же m=s и автобуса приходится ждать 10 минут.

Парадокс светофора.

Вроде кажется, что чем больше скорость автомобилей, тем большее их количество успеет проехать на зеленый свет светофора. Но как это согласовать с тем, что с увеличением скорости увеличивается и дистанция между автомобилями?

Парадокс случайных блужданий.

Из теоремы Пойа (о том, что при длительном блуждании по квадратной решетке мы - пара блуждающих - встретимся бесконечное число раз) вытекает, что рассматривая случайное блуждание по целым точкам на прямой с началом в 0 и движением за 1 шаг влево или вправо на 1 с равной вероятностью 1/2 (независимо от предыдущих шагов), мы будем возвращаться в ноль с вероятностью 1. То есть - всегда.

Возникает вопрос - сколько раз до (первого) возвращения в 0 мы будем проходить через фиксированное целое число k? Естественно предположить, что чем больше k (по модулю), то есть, чем дальше уходит случайное блуждание от 0, тем реже в среднем это будет происходить. Удивительно, но случайное блуждание до первого возвращения в 0 будет всегда проходить через k одно и тоже количество раз, а именно 1, как бы не было велико k (по модулю). Как объяснить такой вывод?