ОКТАВА КАК ФРАКТАЛЬНО-ЧИСЛОВОЙ ОБЪЕКТ

История квантовой эволюции была записана на языке чисел
в момент образования нашей вселенной
Тимоти Лири‚ История будущего

Октава является основным музыкальным термином и обозначает совпадение звуков‚ частоты которых со­относятся как 2:1. Вместе с тем октава есть « восьмерица» (ωκτώ - древнегреч. «восемь»).

Нетрудно понять‚ что основное свой­ство консонанса двух звуков с от­ношением частот 2:1 заложено в при­роде гармонической кривой: в полном её периоде (2) укладываются две полуфазы ( )‚ в двух полных периодах - четыре полуфазы и т.д.‚ что даёт при данном условии совпадение колебаний в фазовых точках:

Фиг. 1. Гармоническая кривая как прообраз Октавы.

Вместе с тем гармоническая кривая описывает простейший вид движения – осцилляцию‚ а математически является элементарной периодической функцией: кривые других зависимостей могут быть разложены в суммы бесконечного ряда гармоник.

Как же возникает в музыке разделение интервала максимального консонанса 2 - октавы - на промежуточ­ные интервалы? Ответ на этот вопрос содер­жится в древнейшей из известных истории систем музыкального строя - квинтовой‚ названной по имени Пифагора. Исторически повелось‚ что корни всего могут быть найдены в Греции‚ однако же нет оснований полагать‚ что её принцип не был известен куда ранее в Египте‚ Вавилоне‚ Индии и Китае.

Колебания струны порождают частичные тоны (обертоны)‚ соотносящиеся как целые числа 1:2:3:4:5... Квинтовое деление основано на втором обертоне и сле­дующем за октавой консонансе - отношении частот 3:2. Как доказывает опыт со струнами различной длины‚ чем проще в числовом выраже­нии это отношение‚ тем приятнее их колебания на слух и полнее си­нергия (явление резонанса) между ними.

Назовём октавный интервал до - до ¹ . Ступень‚ относящаяся к тонике до по частоте как 3:2 на­зывается квинтой и традиционно обозна­чается соль. Из определения интервала октавы следует‚ что отношение верх­него до ¹ к соль составит при этом 4:3‚ и это гармоническое отношение известно как кварта или обращённая квинта. Если заставить звучать три струны‚ настроен­ные в до‚ соль и до ¹ одновременно‚ в аккорде будут присутствовать сразу три интервала - октава 2:1 ‚ квинта 3:2 и кварта 4:3. Древние знали‚ что квинта и кварта взаимообратимы - то есть сим­метричны в отношении октавы‚ и если соль есть квинта к до‚ то фа - квинта к до ¹‚ и обратно - фа по отношению к до составляет кварту‚ а соль - кварту к до¹.

Эту пропорцию можно представить в виде  до: фа: соль: до¹ = 1: 4/3 : 3/2 : 2‚
и она означает первый гармонический паттерн октавы - так называемую настройку орфеевой арфы . Данное выражение содержит в себе все известные в древности отношения - а именно арифметическую, геометри­ческую и гармоническую пропорции, а также принцип золотого деления. Два его средних члена при этом соотносятся как 9: 8‚ то есть обра­зуют интервал натурального целого тона - Фиг. 2. Таким образом‚ на­стройка арфы Орфея содержит алгоритм (гномон)‚ посредством которого на осно­вании отноше­ния первых четырёх членов натурального ряда (греч . τετραξ - четверица) могут быть установлены все музыкальные ступени.

Как это возможно? Последующее построение есть хорошо знакомый музыкантам «квинтовый круг». Чтобы квинта первой четвёрки в свою оче­редь образовала октаву‚ достаточно изменить длину соответствующей струны вдвое. Кварта в октаве соль-соль¹ по-прежнему до ¹ ‚ а квинтой становится ступень ре¹:

Если фа в октаве до - до ¹ мы примем за ступень со значе­нием 1‚ то квинту от фа до¹ = 1 х 3/2 = 3/2 мы должны понизить вдвое‚ чтобы она пришлась в одну октаву с фа‚ совпав с тоникой до:

до = 3/2 : 2 = 3/4.

Тогда соль определяется как вторая квинта от значения

до = 3/4:

соль = 3/4 х 3/2 = 9/8.

Далее‚ ре ¹ является квинтой от соль:

ре ¹ = 9/8 х 3/2 = 27/16‚

и величина 27/16 также должна быть уменьшена вдвое‚ поскольку вновь полученная ступень превысила верхнюю границу октавы до ¹:

ре = 27/16 : 2 = 27/32.

Между до и ре - также как между фа и соль – лежит интервал целого тона: 27/32 : 3/4 = 9/8.

Четвёртая по счёту квинта строится от ступени ре

27/32 х 3/2= 81/64

Между ля и соль интервал целого тона:

81/64 : 9/8 = 9/8.

и должна быть приведена в одну октаву с ля:

ми = 243/128 : 2 = 243/256.

Шестая по счёту квинта‚ которая строится от ноты ми и лежит в одной с ней октаве‚ называется си:

си = 243/256 х 3/2 = 729/512.

Мы видим‚ что квинтовый алгоритм действует совершенно автоматически и единообразно. Сведём вместе полученные результаты - Таблица1.

Две последние квинтовые ступени ми и си образовали новые интервалы внутри октавы:

отношения фа / ми 1:243/256 = 256/243

и до ¹ / си 3/4: 729/512 = 256/243

Фиг. 3.  Заполнение октавы целотоновыми интервалами соответствуют интервалу лейммы‚ называемой иначе полутоном.

Леймма по-гречески «непроходимость»‚ и означает прекраще­ние заполнения октавного промежутка интервалами в 1 тон. В самом деле‚ интервал 2 (октава) может вместить только 5 интер­валов 9/8 и 2 интервала 256/243:

(9/8)⁵ х (256/243)² = 2.

Такое естественное заполнение октавного промежутка (2) тоновыми интервалами с образо­ва­нием семиступенной по­следовательности тон - тон - п/т - тон - тон - тон - п/т называется диатонической (мажор­ной) гаммой основных музыкальных ступеней:

Шесть интервалов (31 - 36) Таблицы 1‚ полученные 1-6 квинтами (а также обращения‚ дополняющие их до октавы) содержат основу для всех музыкальных построений. Обращённая же прима (30) соответствует самой октаве (2).

Продолжение квинтового алгоритма заставит новые ступени «вклини­ваться» в тоновые промежутки ме­жду основными ступе­нями:

VII квинта есть 36/29 х 3/2 = 37/210, поскольку же она прихо­дится на вышележащую октаву (превышая значение до 1=3/2), это число должно быть разделёно на 2, что даёт 37/211;

VIII квинта 37/211х3/2=38/212 >3/2, поэтому 38/212:2=38/213;

IX квинта 38/213х3/2=39/214;

X квинта 39/214х3/2=310/215>3/2, поэтому 310/215:2=310/216;

XI квинта 310/216х3/2=311/217;

XII квинта 311/217х3/2=312/218>3/2, поэтому 312/218:2=312/219.

Все последующие ступени после первых семи (образованных с 0 по 6 квинту) обозначаются как изменённые (повышенные либо понижен­ные) основ­ные ступени. Седьмая квинтовая ступень ниже на полутон (2⁸/3⁵) ступени соль: 3²/2³ : 2⁸/3⁵ =3⁷/2¹¹, поэтому она называется соль-бемоль (соль ^b ). Восьмая квинта есть пониженная на пол­тона ре, так как 3³/2⁵:2⁸/3⁵=3⁸/2¹³‚ и соот­ветствует ре ^b . Девятая, точно также – ля ^b (3⁴/2⁶:2⁸/3⁵=3⁹/2¹⁴), десятая – ми ^b (3⁵/2⁸:2⁸/3⁵=3¹⁰/2¹⁶), одиннадцатая – си ^b (3⁶/2⁹:2⁸/3⁵=3¹¹/2¹⁷). Наконец, двенадцатая квинта приходится на по­ниженный на полтона интервал седьмой, по­скольку 3⁷/2¹¹ (соль ^b ) : 2⁸/3⁵=3¹²/2¹⁹. Сле­дуя принятому обозначению‚ мы должны отметить эту ступень как соль‚ дважды пониженное на полтона (соль ^bb ).

Фиг. 4.  «Прямая» и «зеркально-отражённая» семиступенные гаммы‚ полученные 12-ю квинтами.

В пифагорейском натураль­ном строе два полутона (дубль-бемоль) не дают в сумме интервала, равного целому тону (2⁸/3⁵х2⁸/3⁵=2¹⁶/3¹⁰ <9/8)‚ поэтому последняя ступень не совпадает с фа №1 - не равна в точности единице‚ то есть интервалу примы (3¹²/2¹⁹=531441/524288 =1.0136432 >1)‚ превышая её на величину пифагорейской коммы (обозначаемой нами D ).

Фиг. 5. Круг двенадцати квинт.
Хордами отмечены интервалы полутона (3⁵).

Фиг. 6. Деление октавы на 12 полутоновых интервалов, повторяющее её квинтовую структуру.

Следовательно‚ двенадцатая квинта вверх от исходной ступени порождает новый малый интервал 3¹²/2¹⁹ в фа № 13 (Фиг. 5)‚ чис­ленно соответствующий разнице целого тона (9/8) с двумя полу­тонами 3²/2³:(2⁸/3⁵)²=3¹²/2¹⁹, что составляет примерно 1/8,69 целого тона (иначе говоря, 1.0136432^8,69 = 9/8). Образование микроинтервалов («комм») в квинтовом строе задаёт числовую основу системы натуральной микрохроматики. Полное заполнение интервала октавы полутоновыми ступенями даёт естественную (12-ти или 17-ти ступенную) хроматическую гамму. При этом восходящие квинты (по часовой стрелке круга) образуют ступени бемоля ( ) ‚ а нисходящие (против часовой стрелки) - ступени диеза (#) - Фиг. 6‚ 7.

Фиг. 7.

Очевидно‚ что на этом квинтовому процессу не положен пре­дел. Если продол­жать его далее‚ все ступени квинтами вверх будут повторяться с повышением на комму (+ D ) с каждым витком спирали‚ и при движении квинтами вниз (последовательные значения умножаются на 2/3‚ и также приводятся в исходную октаву) - с убыванием ( − D ) в каждом цикле двенадцати. Мы предоставляем проверить это самому читателю. Итеративное деление отрезка до - до ¹ гармоническими числами бесконечно‚ и при этом никогда не происходит совпадения положения двух различных номеров.

Отметим основные моменты‚ инва­риантные относительно зна­чений ступеней‚ полученных квинтовым алгоритмом - доста­точно‚ чтобы их номера шли по порядку * :

1. каждые 12 последователь­ных ступеней образуют нату­ральную хро­матическую гамму с подразделением октавы на 12 полутонов - Фиг. 6 ;

Фиг. 8. Цикл пяти ступеней.

2. 17 последовательно взятых ступеней образуют семнадцатиступенную хроматическую гамму 12-ти полутонов с энгармонически неравными повышенными и пони­женными ступенями‚ разделён­ными интервалами коммы ( D ) - Фиг. 7;

3. каждая тринадцатая ступень замыкает октавный цикл‚ порож­дая сдвиг на микротоновый интер­вал (комму D ) - Фиг. 5;

4. каждый диаметр‚ проведённый через противолежащие ступени двенадцатичленного круга‚ отме­чает в нём ось зеркальной симметрии и два полюса‚ относи­тельно которых проявлен двоичный паттерн Октавы - Фиг. 4‚9;

5. каждые 7 следующих по порядку ступеней‚ отделённых диаметром ( Фиг. 10) образуют семиступенную гамму с пятью целото­новыми и двумя полутоновыми про­межутками одного из семи принятых в антично­сти ладов (либо заменяющей лад тональности) - се­меричный паттерн Октавы:

Фиг. 9. Бинарный порядок заполнения интервалов относительно фа и си.

6. все вышеуказанные свойства Октавы определены её пятеричным циклом: пять квинт вверх результируют понижением исходной ступени на пол­тона‚ либо повышением на полтона при движении квинтами вниз - Фиг. 5‚ 8;

7. далее‚ двенадцатеричный порядок разбивается на «квадранты» и « тригоны» малой и боль­шой терций‚ служащих в музыке основой аккордово-гармонических построений - Фиг. 11;

8. и‚ наконец‚ все описанные от­ношения проистекают из начал чёта и нечёта (3 ⁿ : 2 ^m )‚ заложенных в квинтовый алгоритм. Свойства Октавы как умозрительного объекта не зависят от природы звука‚ и вправе рассматриваться как проявление законов числа. Подобные принципы числовой организации обнаруживаются и в ДНК – универсальном коде жизни.

Присутствие коммы в квинтовом круге было известно издавна и служило постоянным раздражающим фактором для музыкальных теоретиков. Им казалось неудобным образование в натуральном строе тональных гамм с комматически смещён­ными ступенями‚ а также и то‚ что октава не замкнута - два натуральных полутона не образуют в точности целый тон. Уже греческий философ Аристоксен‚ ученик Аристотеля ( IV в. до н.э.) предложил темперированный строй - деление октавы на равные интервалы. Но эта рационалистическая идея смогла осуществиться лишь во второй половине XVII века ‚ когда каждый полутон объявили равным ровно 100 центам‚ или .

Фиг. 10.  Интервалы тритона  (3⁶)  в круге квинт‚ отмечающие границы ладов и тональностей.

Фиг. 11. Интервалы малой (3³) и большой терций (3⁴) в квинтовом круге.

Это дало возмож­ность‚ бесконечно поднимаясь по лестнице квинт‚ неизменно возвращаться к её началу‚ - как мы видим знаменитой гравюре Маурица Эсхера‚ и в чём убеждают нас органные произведения Иоганна-Себастьяна Баха.

Но те‚ кто стоял ближе к основаниям квинтовой системы‚ не могли не сознавать её фрактальные возможности - об этом свидетельствуют известные места платонова Тимея (36).

Продолжим итерации виток за витком двенадцатиступенного круга. Нетрудно убедиться‚ что на пятом круге будет достигнуто приращение в 4 коммы‚ что превышает интервал полутона (3.85 D ). Тогда ступень 12х4+6 = №54 ми станет на полтона выше‚ то есть «обратится» в фа‚ а «квинтовая спираль» пересечёт самое себя во второй раз - первое сближение мы видели в №13. На сей раз‚ показывает расчёт‚ «соединение» более полное – новый микроинтервал ( s ) в 6.5 раз меньше пифагорейской коммы ( D )‚ а «витки спирали» стали зна­чительно шире.

Отправляясь от нового значения‚ мы вправе ожидать‚ что на седьмом круге цикла в 53 квинты s - прираще­ния достигнут величины D ‚ и снова произойдёт «соединение» с единичным фа. При этом ступень №54 + 53 х 6 = 372 достигнет (и превысит ещё на какое-то микротональное деление) величину ступени №13 фа ^D . Если №13 приходит в соответствие с № 372‚ то №1‚ очевидно‚ отвечает 372─12 = № 360‚ так что следующее «возвраще­ние» происходит ровно на этом номере‚ что подтверждается компьютерным моделированием пифагорейских гармонических чисел.

Не боясь наскучить читателю‚ мы не откажем себе в удовольствии провести расчёт «на пальцах» и следую­щего соединения. Поскольку интервал ок­авы 2 содержит 51 микротон I порядка D плюс один мик­ротон II порядка s ‚ то приращение комм D с каждым циклом 12-ти ступеней за 51х12=612 номе­ров покроет интервал в 51 D ‚ а для получения малого приращения s ‚ как мы знаем‚ нужен ещё период в 53 ступени. Приба­вив к №1фа 51 цикл по 12 но­меров и один в 53 номера‚ мы получим искомое значение ступени №1+612+53 = №666 - самое близкое после единицы среди более чем 16000 гармонических чисел

Фиг. 12. Порядковое расположение квинтовых ступеней в окрестности №1 фа для первой тысячи номеров.

Время - «материя» столь же привычная для нас‚ сколь и непонятная - по свидетельству всех мистиков‚ есть принцип фрактального раздробления единого Бытия.

Каждый из периодов Октавы отвечает гамме с соответствующим микротональным делением‚ поддержи­вая основное фрактальное свойство - создавать циклы внутри циклов‚ повторяя одни и те же числовые узоры в нисходящем порядке шкалы масштабов‚ - возьмём известное множество Мандельбро. В этом смысле мы можем говорить о «внутренних октавах» * ‚ вкладываемых друг в друга наподобие матрёшек. Период в 665 квинт выступает при этом характерным аттрактором‚ повторяющим в своём интервале исходный рисунок двенадцати ступеней - Фиг. 13:

Фиг. 13.  Паттерн 12-ти ступеней‚ повторяемый  в микроинтервалах  цикла 665 тонкой структуры Октавы. Разрешение - порядка 1.9 ^.10⁵ номеров.

Периоды более высоких порядков раскладываются на нижележащие как на составляющие модули‚ связующим звеном выступает цикл 665:
16266 = 665 х 24 + 359 ─ 53‚
31867 = 16266 х 2 ─ 665‚
79335 = 16266 х 5 ─ 665 х 3‚
111202 = 16266 х 7 ─ 665 х 4‚
190537 = 16266 х 12 ─ 665 х 7‚
301739 = 16266 х 19 ─ 665 х 11‚ и т.д.

В конце XVI века француз Жозеф Скалигер задумал создать времяисчисление‚ наилучшим образом согласованное с известными на то время астрономическими и историческими данными‚ и предложил так называемый юлианский период в 7980 лет‚ попав как раз «в яблочко»‚ поскольку эра Скалигера - до сих пор‚ кстати‚ используемая при хронологических расчётах‚ - как раз основана на периоде 665 (7980 = 665 х 12).

Вряд ли Скалигер‚ да и Святой Иоанн опирались на непосредственное знание об Октаве‚ но её следы уводят гораздо глубже. Носящая имя Пифагора квинтовая система по глубине своей общности является бессмертным памятником - а также и универсальным кодом человечества: если даже предположить‚ что знание о ней было бы когда-либо утрачено‚ она неизбежно была бы переоткрыта снова. Странные «мистические» принципы‚ положенные древними в основания природы и применяемые в астроло­гии и счёте времени - пара инь-ян‚ три гуны‚ пять элементов‚ восемь направлений и двенадцать знаков Зодиака‚ шестидесятилетний цикл‚ загадочный И цзин‚ майанский календарь и древнеиндийские эры - все они так или иначе находят в Октаве свой числовой прообраз.