БЛОГФорумСсылки Написать письмоПочему Арбуз? Служебная UN ЕЖЕ-движение - международный союз интернет-деятелей

ОКТАВА КАК ФРАКТАЛЬНО-ЧИСЛОВОЙ ОБЪЕКТ

Автор Б. Сварог * Публикуется на Арбузе с любезного разрешения автора. Источник.

История квантовой эволюции была записана на языке чисел
в момент образования нашей вселенной

Тимоти Лири‚ История будущего

Октава является основным музыкальным термином и обозначает совпадение звуков‚ частоты которых со­относятся как 2:1. Вместе с тем октава есть « восьмерица» (ωκτώ - древнегреч. «восемь»).

Нетрудно понять‚ что основное свой­ство консонанса двух звуков с от­ношением частот 2:1 заложено в при­роде гармонической кривой: в полном её периоде (2) укладываются две полуфазы ( )‚ в двух полных периодах - четыре полуфазы и т.д.‚ что даёт при данном условии совпадение колебаний в фазовых точках:

Фиг. 1. Гармоническая кривая как прообраз Октавы.

Вместе с тем гармоническая кривая описывает простейший вид движения – осцилляцию‚ а математически является элементарной периодической функцией: кривые других зависимостей могут быть разложены в суммы бесконечного ряда гармоник.

Как же возникает в музыке разделение интервала максимального консонанса 2 - октавы - на промежуточ­ные интервалы? Ответ на этот вопрос содер­жится в древнейшей из известных истории систем музыкального строя - квинтовой‚ названной по имени Пифагора. Исторически повелось‚ что корни всего могут быть найдены в Греции‚ однако же нет оснований полагать‚ что её принцип не был известен куда ранее в Египте‚ Вавилоне‚ Индии и Китае.

Колебания струны порождают частичные тоны (обертоны)‚ соотносящиеся как целые числа 1:2:3:4:5... Квинтовое деление основано на втором обертоне и сле­дующем за октавой консонансе - отношении частот 3:2. Как доказывает опыт со струнами различной длины‚ чем проще в числовом выраже­нии это отношение‚ тем приятнее их колебания на слух и полнее си­нергия (явление резонанса) между ними.

Назовём октавный интервал до - до 1 . Ступень‚ относящаяся к тонике до по частоте как 3:2 на­зывается квинтой и традиционно обозна­чается соль. Из определения интервала октавы следует‚ что отношение верх­него до 1 к соль составит при этом 4:3‚ и это гармоническое отношение известно как кварта или обращённая квинта. Если заставить звучать три струны‚ настроен­ные в до‚ соль и до 1 одновременно‚ в аккорде будут присутствовать сразу три интервала - октава 2:1 ‚ квинта 3:2 и кварта 4:3. Древние знали‚ что квинта и кварта взаимообратимы - то есть сим­метричны в отношении октавы‚ и если соль есть квинта к до‚ то фа - квинта к до 1‚ и обратно - фа по отношению к до составляет кварту‚ а соль - кварту к до1.

Эту пропорцию можно представить в виде  до: фа: соль: до1 = 1: 4/3 : 3/2 : 2
и она означает первый гармонический паттерн октавы - так называемую настройку орфеевой арфы . Данное выражение содержит в себе все известные в древности отношения - а именно арифметическую, геометри­ческую и гармоническую пропорции, а также принцип золотого деления. Два его средних члена при этом соотносятся как 9: 8‚ то есть обра­зуют интервал натурального целого тона - Фиг. 2. Таким образом‚ на­стройка арфы Орфея содержит алгоритм (гномон)‚ посредством которого на осно­вании отноше­ния первых четырёх членов натурального ряда (греч . τετραξ - четверица) могут быть установлены все музыкальные ступени.

Как это возможно? Последующее построение есть хорошо знакомый музыкантам «квинтовый круг». Чтобы квинта первой четвёрки в свою оче­редь образовала октаву‚ достаточно изменить длину соответствующей струны вдвое. Кварта в октаве соль-соль1 по-прежнему до 1 ‚ а квинтой становится ступень ре1:

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

Если фа в октаве до - до 1 мы примем за ступень со значе­нием 1‚ то квинту от фа до1 = 1 х 3/2 = 3/2 мы должны понизить вдвое‚ чтобы она пришлась в одну октаву с фа‚ совпав с тоникой до:

до
= 3/2 : 2 = 3/4.

Тогда соль определяется как вторая квинта от значения

до
= 3/4:

соль = 3/4 х 3/2 = 9/8.

Далее‚ ре 1 является квинтой от соль:

ре 1 = 9/8 х 3/2 = 27/16‚

и величина 27/16 также должна быть уменьшена вдвое‚ поскольку вновь полученная ступень превысила верхнюю границу октавы до 1:

ре = 27/16 : 2 = 27/32.

Между до и ре - также как между фа и соль – лежит интервал целого тона: 27/32 : 3/4 = 9/8.

Четвёртая по счёту квинта строится от ступени ре

27/32 х 3/2= 81/64

и носит название ля‚ приходясь в ту же октаву:

Между ля и соль интервал целого тона:

81/64 : 9/8 = 9/8.

Пятая по счёту квинта (ми) строится от ля

81/64 х 3/2 = 243/128‚

и должна быть приведена в одну октаву с ля:

ми
= 243/128 : 2 = 243/256.

Ми образует целотоновый промежуток с ре:

243/256 : 27/32 = 9/8.

Шестая по счёту квинта‚ которая строится от ноты ми и лежит в одной с ней октаве‚ называется си:

си
= 243/256 х 3/2 = 729/512.

Между ля и си также интервал целого тона

729/512 : 81/64 = 9/8.

Мы видим‚ что квинтовый алгоритм действует совершенно автоматически и единообразно. Сведём вместе полученные результаты - Таблица1.


Две последние квинтовые ступени ми и си образовали новые интервалы внутри октавы:

отношения фа / ми 1:243/256 = 256/243

и до 1 / си 3/4: 729/512 = 256/243

 

Фиг. 3.  Заполнение октавы целотоновыми интервалами соответствуют интервалу лейммы‚ называемой иначе полутоном.

Леймма по-гречески «непроходимость»‚ и означает прекраще­ние заполнения октавного промежутка интервалами в 1 тон. В самом деле‚ интервал 2 (октава) может вместить только 5 интер­валов 9/8 и 2 интервала 256/243:

(9/8)5 х (256/243)2 = 2.

Такое естественное заполнение октавного промежутка (2) тоновыми интервалами с образо­ва­нием семиступенной по­следовательности тон - тон - п/т - тон - тон - тон - п/т называется диатонической (мажор­ной) гаммой основных музыкальных ступеней:

Шесть интервалов (31 - 36) Таблицы 1‚ полученные 1-6 квинтами (а также обращения‚ дополняющие их до октавы) содержат основу для всех музыкальных построений. Обращённая же прима (30) соответствует самой октаве (2).

Продолжение квинтового алгоритма заставит новые ступени «вклини­ваться» в тоновые промежутки ме­жду основными ступе­нями:

VII квинта есть 36/29 х 3/2 = 37/210, поскольку же она прихо­дится на вышележащую октаву (превышая значение до 1=3/2), это число должно быть разделёно на 2, что даёт 37/211;

VIII квинта 37/211х3/2=38/212 >3/2, поэтому 38/212:2=38/213;

IX квинта 38/213х3/2=39/214;

X квинта 39/214х3/2=310/215>3/2, поэтому 310/215:2=310/216;

XI квинта 310/216х3/2=311/217;

XII квинта 311/217х3/2=312/218>3/2, поэтому 312/218:2=312/219.

Все последующие ступени после первых семи (образованных с 0 по 6 квинту) обозначаются как изменённые (повышенные либо понижен­ные) основ­ные ступени. Седьмая квинтовая ступень ниже на полутон (28/35) ступени соль: 32/23 : 28/35 =37/211, поэтому она называется соль-бемоль (соль b ). Восьмая квинта есть пониженная на пол­тона ре, так как 33/25:28/35=38/213‚ и соот­ветствует ре b . Девятая, точно также – ля b (34/26:28/35=39/214), десятая – ми b (35/28:28/35=310/216), одиннадцатая – си b (36/29:28/35=311/217). Наконец, двенадцатая квинта приходится на по­ниженный на полтона интервал седьмой, по­скольку 37/211 (соль b ) : 28/35=312/219. Сле­дуя принятому обозначению‚ мы должны отметить эту ступень как соль‚ дважды пониженное на полтона (соль bb ).

 

Фиг. 4.  «Прямая» и «зеркально-отражённая» семиступенные гаммы‚ полученные 12-ю квинтами.

В пифагорейском натураль­ном строе два полутона (дубль-бемоль) не дают в сумме интервала, равного целому тону (28/35х28/35=216/310 <9/8)‚ поэтому последняя ступень не совпадает с фа №1 - не равна в точности единице‚ то есть интервалу примы (312/219=531441/524288 =1.0136432 >1)‚ превышая её на величину пифагорейской коммы (обозначаемой нами D ).

 

Фиг. 5. Круг двенадцати квинт.
Хордами отмечены интервалы полутона (35).

 

Фиг. 6. Деление октавы на 12 полутоновых интервалов, повторяющее её квинтовую структуру.

Следовательно‚ двенадцатая квинта вверх от исходной ступени порождает новый малый интервал 312/219 в фа № 13 (Фиг. 5)‚ чис­ленно соответствующий разнице целого тона (9/8) с двумя полу­тонами 32/23:(28/35)2=312/219, что составляет примерно 1/8,69 целого тона (иначе говоря, 1.01364328,69 = 9/8). Образование микроинтервалов («комм») в квинтовом строе задаёт числовую основу системы натуральной микрохроматики. Полное заполнение интервала октавы полутоновыми ступенями даёт естественную (12-ти или 17-ти ступенную) хроматическую гамму. При этом восходящие квинты (по часовой стрелке круга) образуют ступени бемоля ( ) ‚ а нисходящие (против часовой стрелки) - ступени диеза (#) - Фиг. 6‚ 7.

 

Фиг. 7.

Очевидно‚ что на этом квинтовому процессу не положен пре­дел. Если продол­жать его далее‚ все ступени квинтами вверх будут повторяться с повышением на комму (+ D ) с каждым витком спирали‚ и при движении квинтами вниз (последовательные значения умножаются на 2/3‚ и также приводятся в исходную октаву) - с убыванием ( − D ) в каждом цикле двенадцати. Мы предоставляем проверить это самому читателю. Итеративное деление отрезка до - до 1 гармоническими числами бесконечно‚ и при этом никогда не происходит совпадения положения двух различных номеров.

Отметим основные моменты‚ инва­риантные относительно зна­чений ступеней‚ полученных квинтовым алгоритмом - доста­точно‚ чтобы их номера шли по порядку * :

1. каждые 12 последователь­ных ступеней образуют нату­ральную хро­матическую гамму с подразделением октавы на 12 полутонов - Фиг. 6 ;

 

Фиг. 8. Цикл пяти ступеней.

 

2. 17 последовательно взятых ступеней образуют семнадцатиступенную хроматическую гамму 12-ти полутонов с энгармонически неравными повышенными и пони­женными ступенями‚ разделён­ными интервалами коммы ( D ) - Фиг. 7;

3. каждая тринадцатая ступень замыкает октавный цикл‚ порож­дая сдвиг на микротоновый интер­вал (комму D ) - Фиг. 5;

4. каждый диаметр‚ проведённый через противолежащие ступени двенадцатичленного круга‚ отме­чает в нём ось зеркальной симметрии и два полюса‚ относи­тельно которых проявлен двоичный паттерн Октавы - Фиг. 4‚9;

5. каждые 7 следующих по порядку ступеней‚ отделённых диаметром ( Фиг. 10) образуют семиступенную гамму с пятью целото­новыми и двумя полутоновыми про­межутками одного из семи принятых в антично­сти ладов (либо заменяющей лад тональности) - се­меричный паттерн Октавы:

 

 

Фиг. 9. Бинарный порядок заполнения интервалов относительно фа и си.

6. все вышеуказанные свойства Октавы определены её пятеричным циклом: пять квинт вверх результируют понижением исходной ступени на пол­тона‚ либо повышением на полтона при движении квинтами вниз - Фиг. 5‚ 8;

7. далее‚ двенадцатеричный порядок разбивается на «квадранты» и « тригоны» малой и боль­шой терций‚ служащих в музыке основой аккордово-гармонических построений - Фиг. 11;

8. и‚ наконец‚ все описанные от­ношения проистекают из начал чёта и нечёта (3 n : 2 m )‚ заложенных в квинтовый алгоритм. Свойства Октавы как умозрительного объекта не зависят от природы звука‚ и вправе рассматриваться как проявление законов числа. Подобные принципы числовой организации обнаруживаются и в ДНК – универсальном коде жизни.

Присутствие коммы в квинтовом круге было известно издавна и служило постоянным раздражающим фактором для музыкальных теоретиков. Им казалось неудобным образование в натуральном строе тональных гамм с комматически смещён­ными ступенями‚ а также и то‚ что октава не замкнута - два натуральных полутона не образуют в точности целый тон. Уже греческий философ Аристоксен‚ ученик Аристотеля ( IV в. до н.э.) предложил темперированный строй - деление октавы на равные интервалы. Но эта рационалистическая идея смогла осуществиться лишь во второй половине XVII века ‚ когда каждый полутон объявили равным ровно 100 центам‚ или .

 

 

 

 

 

Фиг. 10.  Интервалы тритона  (36)  в круге квинт‚ отмечающие границы ладов и тональностей.

 

 

Фиг. 11. Интервалы малой (33) и большой терций (34) в квинтовом круге.

Это дало возмож­ность‚ бесконечно поднимаясь по лестнице квинт‚ неизменно возвращаться к её началу‚ - как мы видим знаменитой гравюре Маурица Эсхера‚ и в чём убеждают нас органные произведения Иоганна-Себастьяна Баха.

Но те‚ кто стоял ближе к основаниям квинтовой системы‚ не могли не сознавать её фрактальные возможности - об этом свидетельствуют известные места платонова Тимея (36).

Продолжим итерации виток за витком двенадцатиступенного круга. Нетрудно убедиться‚ что на пятом круге будет достигнуто приращение в 4 коммы‚ что превышает интервал полутона (3.85 D ). Тогда ступень 12х4+6 = №54 ми станет на полтона выше‚ то есть «обратится» в фа‚ а «квинтовая спираль» пересечёт самое себя во второй раз - первое сближение мы видели в №13. На сей раз‚ показывает расчёт‚ «соединение» более полное – новый микроинтервал ( s ) в 6.5 раз меньше пифагорейской коммы ( D )‚ а «витки спирали» стали зна­чительно шире.

Отправляясь от нового значения‚ мы вправе ожидать‚ что на седьмом круге цикла в 53 квинты s - прираще­ния достигнут величины D ‚ и снова произойдёт «соединение» с единичным фа. При этом ступень №54 + 53 х 6 = 372 достигнет (и превысит ещё на какое-то микротональное деление) величину ступени №13 фа D . Если №13 приходит в соответствие с № 372‚ то №1‚ очевидно‚ отвечает 372─12 = № 360‚ так что следующее «возвраще­ние» происходит ровно на этом номере‚ что подтверждается компьютерным моделированием пифагорейских гармонических чисел.

Не боясь наскучить читателю‚ мы не откажем себе в удовольствии провести расчёт «на пальцах» и следую­щего соединения. Поскольку интервал ок­авы 2 содержит 51 микротон I порядка D плюс один мик­ротон II порядка s ‚ то приращение комм D с каждым циклом 12-ти ступеней за 51х12=612 номе­ров покроет интервал в 51 D ‚ а для получения малого приращения s ‚ как мы знаем‚ нужен ещё период в 53 ступени. Приба­вив к №1фа 51 цикл по 12 но­меров и один в 53 номера‚ мы получим искомое значение ступени №1+612+53 = №666 - самое близкое после единицы среди более чем 16000 гармонических чисел

 

Фиг. 12. Порядковое расположение квинтовых ступеней в окрестности №1 фа для первой тысячи номеров.

(его микроинтервал составляет 1/15878 часть октавы) - Фиг. 12. Так‚ занимаясь вроде вполне безобидным делом‚ мы невзначай затронули «эсхатологическую» тему.

54
есть сумма «двойных и тройных чисел»‚ приводимых в Тимее в качестве основы расчленения Октавы космоса:



360
тоже хорошо известно - до сих пор так считают градусы окружности‚ но причём здесь «число Антихриста»? Ответ может заключаться в том‚ что 666 не менее других паттернов Октавы пригодно для представления временных циклов‚ ведь «устрояя небо, Он творит... вечный образ, движущийся от числа к числу, который мы назвали временем»
(Тимей‚ 36 b ).

Время - «материя» столь же привычная для нас‚ сколь и непонятная - по свидетельству всех мистиков‚ есть принцип фрактального раздробления единого Бытия.

Каждый из периодов Октавы отвечает гамме с соответствующим микротональным делением‚ поддержи­вая основное фрактальное свойство - создавать циклы внутри циклов‚ повторяя одни и те же числовые узоры в нисходящем порядке шкалы масштабов‚ - возьмём известное множество Мандельбро. В этом смысле мы можем говорить о «внутренних октавах» * ‚ вкладываемых друг в друга наподобие матрёшек. Период в 665 квинт выступает при этом характерным аттрактором‚ повторяющим в своём интервале исходный рисунок двенадцати ступеней - Фиг. 13:

Фиг. 13.  Паттерн 12-ти ступеней‚ повторяемый  в микроинтервалах  цикла 665 тонкой структуры Октавы. Разрешение - порядка 1.9 .105 номеров.

Периоды более высоких порядков раскладываются на нижележащие как на составляющие модули‚ связующим звеном выступает цикл 665:
16266 = 665 х 24 + 359 ─ 53‚
31867 = 16266 х 2 ─ 665‚
79335 = 16266 х 5 ─ 665 х 3‚
111202 = 16266 х 7 ─ 665 х 4‚
190537 = 16266 х 12 ─ 665 х 7‚
301739 = 16266 х 19 ─ 665 х 11‚ и т.д.

В конце XVI века француз Жозеф Скалигер задумал создать времяисчисление‚ наилучшим образом согласованное с известными на то время астрономическими и историческими данными‚ и предложил так называемый юлианский период в 7980 лет‚ попав как раз «в яблочко»‚ поскольку эра Скалигера - до сих пор‚ кстати‚ используемая при хронологических расчётах‚ - как раз основана на периоде 665 (7980 = 665 х 12).

Вряд ли Скалигер‚ да и Святой Иоанн опирались на непосредственное знание об Октаве‚ но её следы уводят гораздо глубже. Носящая имя Пифагора квинтовая система по глубине своей общности является бессмертным памятником - а также и универсальным кодом человечества: если даже предположить‚ что знание о ней было бы когда-либо утрачено‚ она неизбежно была бы переоткрыта снова. Странные «мистические» принципы‚ положенные древними в основания природы и применяемые в астроло­гии и счёте времени - пара инь-ян‚ три гуны‚ пять элементов‚ восемь направлений и двенадцать знаков Зодиака‚ шестидесятилетний цикл‚ загадочный И цзин‚ майанский календарь и древнеиндийские эры - все они так или иначе находят в Октаве свой числовой прообраз.

2005 © Б.Сварог   waruna@yandex.ru

* По материалу книги Б.Сварога  Ход ночного солнца /предлагается к изданию /.

* Заметим‚ что в этой системе мы получаем интервалы с точностью до обращения (2)‚ и их определяющей характеристикой служит показатель степени при числе 3. Так‚ 31 - это квинта и её обращение - кварта‚ 32 - 1 тон и малая септима и т.д. Любая ступень может выступать нижней и верхней границей соответствующего октавного интервала.

* Термин внутренняя октава мы впервые встречаем у Гурджиева.


Автор about me
Design by dady_MYKC
)c( 2000-2017
Kопирайта нет, копируйте на здоровье :)

100012 лет в Интернете


.