Извлечение кубического корня
и угадывание дней недели по названным датам

(Глава 21 из книги Марина Гарднера «Математические новеллы» М., Мир, 1974)

Даже самые выдающиеся эстрадные вычислители – звёзды первой величины, о которых мы рассказывали в предыдущей главе,  - редко могли удержаться от того, чтобы не включить в свою программу различные трюки, рассчитанные на чисто внешней эффект, а кое-кто из «живых арифмометров» меньшего ранга строил всю свою программу на таких якобы необычайно трудных, но в действительности простых номерах. Некоторые из трюков столь элементарны, что читатель, желающий позабавить и удивить своих друзей, овладеет ими без труда.

Рассмотрим, например, следующий трюк с умножением числа (известный сравнительно мало, он имеет великолепную родословную, восходящую к выпущенной в 1747 г итальянцем Альберти книге «Численные игры: тайные факты»). Трюк действует безотказно на числах любой длины, но если под рукой нет настольной вычислительной машины для проверки результатов, то лучше  всего ограничатся трехзначными числами.

Попросите кого-нибудь из зрителей назвать любое трёхзначное число. Предположим, что он выбрал число 567. Запишите это число дважды на доске или на листе бумаге
567                 567

Попросите  назвать ещё одно трёхзначное число и подпишите его под 567 слева. Теперь вам необходимо найти ещё число – сомножитель числа 567, выписанного справа. Оно должно быть «дополнением до 9» левого множителя (хотя зрителям об этом, разумеется, ничего не известно), то есть сумма единиц,  десятков и сотен правого и левого множителей должна быть равна 9. Предположим, что в качестве левого множителя названо число 382. Тогда правый множитель равен 617:

    567         567
x                x
  382         617

Если вы демонстрируете своё искусство группе зрителей, то может заранее  попросить своего приятеля сыграть роль «подсадной утки» и назвать правильный сомножитель для числа 567, записанного справа. Если вам не удастся найти помощника, то вы выписываете правый сомножитель сами, как бы беря  наудачу совершенно случайное число. Затем вы объявляете зрителям, что вычислите оба произведения без помощи карандаша и бумаги, затем найдёте их сумму и, наконец, удвоите её. Сумму произведений вы получаете мгновенно: необходимо лишь вычесть 1 из первого названного зрителям числа и приписать справа дополнения полученной разности до 9. В рассматриваемом примере первым было названо число 567. Следовательно, 567 – 1 = 566, а «дополнения 566 до 9» равно 433. Таким образом, сумма произведений в этом случае равна 566 433. Если вы запишете полученную сумму на доске, то кто-нибудь из зрителей может заметить, что две её первые цифры совпадают с двумя первыми цифрами числа 567 (в общем случае, первого из названных зрителям чисел). Чтобы «замести следы», вы умножаете полученную сумму на 2. Это совсем нетрудно проделать в уме, выписывая цифры по мере их получение справа налево. Если угодно, можно приписать справа к числу 566 433 нуль и затем разделить на 5 (поскольку на 10 с последующим делением на 5 эквивалентно умножению на 2). В этом случае ответ удобнее выписывать слева направо.

В чём секрет трюка? Сумма вторых сомножителей равна 999, поэтому сумма левого и правого произведений равна 567х999 = 567х(1000 – 1)= 567000 – 567. Вычислив эту разность на бумаге, вы сразу же увидите, что результат равен 566 433, то есть числу (567 – 1), вслед за которым выписано его «дополнению до 9».

На несколько более тонком принципе основано множество трюков с молниеносным умножением некоторых чисел, выглядящих на первый взгляд вполне невинно, на любые числа той же или меньшей длины. Предположи, что вычислитель на эстраде обращается к аудитории просьбой назвать какое-нибудь девятизначное число, и его ассистент, сидящий в зале называет число 142 857 143. Другое девятизначное число по просьбе вычислитель, называется «честно». Можно представить себе восторг зрителей, когда вычислитель, «молниеносно перемножив в уме» два девятизначных гиганта, начинает сразу  же выписывать  чудовищное произведение слева направо. Секрет этого трюка до смешного прост. Второе число необходимо «удвоить», мысленно представив его выписанным подряд дважды, после разделить на 7. Полученное частное будет совпадать с искомым произведением. (Если второе число делится на 7 без остатка, вы просто выписываете частное подряд два раза. Если  же второе число делится на 7 с остатком, то, дойдя до конца в первый раз, вы приписываете  полученный остаток слева от второго числа, после чего продолжаете деления). Предположим, что второе число равно 123 456 789. После «удвоения» вы получаете число 123 456 789 123 456 789. Разделив его на 7, находите число 17636684160493827. Оно-то и равно произведению 142857143 и 123456789. Следует иметь в виду, что «удвоенное» число непременно должно делится на 7 без остатка. Если «удвоенное» число не делится на 7, то это означает, что вы где-то допустили ошибку.

Столь же легко умножать магическое число 142857143 на более «короткие» числа. Необходимо лишь перед «удваиванием» дополнить «короткозначное» число до девятизначное нулями, после чего приписать справа короткое ещё раз, а полученное число разделить на 7. Так, если вторым числом было названо 123456, вы мысленно превращаете его в 123456000123456, после чего делите на 7. Производя деления, вы можете тайком посматривать на число 123456, выписанное на доске. Это облегчит вам деление и позволит не сбиться со счёта.

Число 142857143 хорошо известно эстрадным вычислителям. В начале века на эстрадах   США выступал некий Артур ф. Гриффитс, называвший себе на афишах «Чудо-Гриффитс». Он пользовался репутаций человека, способного менее чем за 30 секунд перемножить два девятизначных числа. Когда я впервые прочитал об этом, у меня зародилось смутно подозрение. После длительных «раскопок» в библиотеки мне, наконец, удалось найти отчёт очевидца, присутствовавшего на выступление Гриффитса в 1904 г перед группой студентов и преподавателей Университета штата Индиана. «Гриффитс, - говорится в отчёте – написал на доске число 142 857 143 и попросил профессора написать под этим числом любой девятизначный множитель. Как только профессор начал выписывать слева направо цифры сомножитель, Чудо-Гриффитс тотчас же начал выписывать одну за другой цифры произведения. Присутствовавшие студенты, стоя, приветствовали вычислителя восторженными криками». В 1901г. Гриффитс выпустил небольшую брошюру, в которой рассказывал о своих методах «легко и быстро устного счёта». О числе 142 857 143 в брошюре не говорилось ни слова.

Тех, кто пользуется магическим числом 142 857 143, подстерегает одна опасность: если второй сомножитель делится на 7, то начинается «заикаться» - в нём появляется повторяющиеся цифры, а это рождается у зрителей подозрения, что «дело не чисто». Чтобы избежать «заикания», Уоллес Ли, придумавший множество математических фокусов, предложил другое магическое число 2857 143 (нетрудно видеть, что это всё то же магическое число 142 857 143, у которого отброшены две первые цифры). Попросите зрителей назвать семизначный сомножитель, каждая цифра которого не меньше 5. Поясните, что условия особенно усложняет задачу (в действительности же оно, конечно, упрощает выкладки). Метод вычислений по существу остаётся же, как прежде, с одним лишь различием: перед тем как приступать к делению на 7, второе число необходимо умножить на 2. Поскольку все его цифры больше 4, умножение на 2 можно производить постепенно, цифра по мере того, как вы будете делить число на 7.

Предположим, что в качестве второго множителя названо число 8965 797. Умножив первую цифру на 2 и прибавив 1, получим 17. Разделив 17 на 7, мы получим 2 – первую цифру  искомого произведения, а остаток 3 запомним. Удвоим следующую цифру 9 и прибавим 1, получим 19. Отбросим первую цифру полученного числа и заменим её 3 – остатком от деления на 7 предыдущего числа. Получив в результате число 39, разделим его на 7. Частное, равное 5, будет второй цифрой искомого произведения, а остаток 4 придётся снова запомнить. Удвоим следующую цифру 6, прибавим 1 и, отбросим в сумме единицу, стоящую спереди, заменим её остатком от предыдущего деления на 7, равным 4. В итоге получим 43 на 7. Разделив 43 на 7,  получим третью цифру  искомого произведения, равную 6, и 1 в остатке. Удвоим следующую цифру  5 и прибавив 1, мы получим 11. Отбрасывание первой цифры и замена её остатком на этот раз бессмысленна, поскольку оба числа одинаковы. Разделив  11 на 7, получим 1 и 4 в остатке. Таким образом, четвёртая цифра искомого произведения равна 1, а остаток 4 понадобится нам для получения следующий цифры. Так продолжается до тех пор, пока не дойдём до последней цифры числа 8965 797. При умножения на 2 последней семёрки единицы прибавлять не нужно Остаток от деления последнего двухзначного числа, равный 2, переносим в начало и приписываем перед восьмёркой, с которой начинается число 8965 797, после чего делим число 28 965 797 на 7 обычным способом, без умножения каждой цифры на 2. В итоге мы получим искомое произведение. Оно равно 25 616 564 137 971.

Удвоением цифр, необходимым этапе вычислений, овладеть совсем нетрудно. Метод Уоллеса Ли заведомо избавляет произведение от «заикание». При этом разгадать секрет трюка непосвящённому зрителю гораздо труднее, чем в первом случае. Мысленно восполняя недостающие знаки нулями, магическое число 2 857 143 так же, как и его предшественника, можно умножать на числа с меньшим количеством знаков.

Оба магических числа проводят к столь «астрономическим» произведением, что зрители не в состояние проверить результат вычислений, если у них под рукой нет настолько вычислительной машины. Однако существует множество магических чисел более умеренного «калибра», позволяющих проделывать по существу те же трюки с вычислением произведением. Например, произведение 143 и трёхзначного числа  abc можно вычислить, разделив на 7 число abcabc (правда, эффект трюка будет в значительно мер зависеть от того, удастся ли избавится от «заикания» в частном или нет). Чтобы умножить 1667 и трёхзначное число abc, нужно приписать к abc справа 0, разделить получившееся число на 6, затем приписать половину остатка от деления, если такой имеется (нетрудно видеть, что остаток от деления числа abc0, на 6 может принимать лишь значения 0, 2 и 4), к числу abc спереди и полученное число разделить на 3. Все указанные операции нетрудно проделывать в уме, произведения получаются свободными от «заикание», и зрители могут легко проверить правильность выкладок, не прибегая к помощи вычислительной техники.

В качестве приятного и небесполезного упражнения из элементарной теории чисел читателю предлагается самостоятельно разобраться в механизме трюков, основанных на четырёх названных выше магических числах. Другой трюк, который производит сильное впечатления на непосвящённого зрителя, связан с извлечением кубического корня. Вы заявляете, что мгновенно извлечь кубический корень из куба любого целого числа, заключённого между 1 и 100, и к удивлению зрителей действительно неплохо справляетесь с предлагаемыми вам задачами. Этот трюк чрезвычайно прост. Чтобы продемонстрировать его, вам необходимо запомнить лишь таблицу кубов чисел от 1 до 10.

Нетрудно видеть, что среди последних кубов в отличие от последних цифр квадратов нет повторяющихся (именно поэтому извлекать «в уме» кубический корень гораздо легче, чем квадратный). Последние цифры чисел 1, 4, 5, 6, 9, и 10 совпадают с последними цифрами их кубов. Запомнить же последние цифры кубов чисел 2, 3, 7, и 8 совсем нетрудно: они дополняют каждое из названных чисел до 10.

Предположим, что вас попросили извлечь кубический корень из 658 503. Отбросив последние три цифры, вы прежде всего сосредоточиваете внимание на трёх первых цифрах 658. Восстановив в памяти таблицу кубов, вы заключаете, что кубический корень из числа 658 лежит где-то между 8 и 9 и произносите вслух меньше из двух чисел: 8. Таким образом, первая цифра ответа получена. Взглянув на последнюю цифру куба 658 503, вы сразу же называете вторую цифру искомого кубического корня: 7. Итак, кубический корень из числа 658 503 равен 87.

После извлечение кубических корней эстрадные вычислители нередко демонстрируют своё искусство в извлечение корней пятой степени. На первый взгляд может показаться, будто эта задача ещё труднее, чем извлечение кубических корней, однако в действительности вычислять корни пятой степени проще и легче. Дело в том, что последняя цифра любого числа совпадает с последней цифрой его пятой степени. Для отыскания же первой цифры достаточно запомнить правый столбец таблицы, приведённой на. Предположим что вас попросили извлечь корень пятой степени из 8 587 340 257. Как только зритель произнёс: «Восемь миллиардов…» - вы узнали, что нужно вам число заключено между 9 и 10, и, выбрав меньше из чисел: 9, узнали первую цифру ответа. После этого вы «пропускаете мимо ушей» все, что говорит зритель, до тех пор, пока он не назовёт последнюю цифру: 7. В этот же момент вы сообщаете ответ: корень пятой степени из 8 587 340 257 равен 97. Трюк с извлечением корней пятой  степени не следует повторять более двух-трёх раз, ибо в противном случае зрители могут обратить внимание на совпадение последних цифр у числа и его пятой степени. Разумеется, профессиональные эстрадные вычислители извлекают кубические корни и корни пятой степени из гораздо больших чисел, но какими бы обобщениями перечисленных выше приёмов быстрого счёта они ни пользовались, по существу их трюки основаны на тех же принципах, которые мы объяснили на пример двузначных чисел.

Большинство эстрадных вычислителей любят поражать воображение публики, отгадывая, на какой день недели приходится любая названная зрителями дата. Для показа этого трюка необходимо запомнить следующую таблицу.

Каждому месяцу соответствует определённое число. Чтобы его легче было запомнить, рядом указана мнемоническая фраза.

Вычисление дня недели производится в четыре этапа (все действия производятся «в уме», без карандаша и бумаги).

1. Две последние цифры года вы рассматриваете как отдельное число. Это число вы делите на 12 и запомните остаток от деления. Затем вам необходимо сложить три небольших числа: частное от деления двузначного числа, которым заканчивается год, на 12, остаток от деления того же числа на 12 и частное от деления остатка на 4. Например, зрители назвали 1910 г. Частное от деления 10 на 12 равно 0, остаток – 10. Разделив 10 на 4, вы получаете 2(остаток от деления в этом случае вас не интересует). Итак, 0 +10 +2 =12. Если полученная сумма больше или равна 7, то её необходимо разделить на 7 и запомнить лишь остаток от  деления. В рассматриваемом случае 12          7, поэтому вы делите 12 на 7 и получаете в остатке 5. Именно эту пятёрку и необходимо запомнить для дальнейшего.(В тех случаях, когда нас интересует лишь остатки от деления чисел на какое-нибудь определённое число, например 7,математики говорят, что мы пользуемся вычетами по модулю 7.)

2. К числу, полученному на предыдущем  этапе, прибавляете ключевое число месяца и в случая необходимости (если полученная сумма больше или равна7) заменяете вычисленную сумму остатком от деления её на 7.

3 К полученному числу прибавляете день месяца и снова заменяете сумму остатком от деления её на 7. Полученное число даёт вам день недели (0 соответствует субботе, 1 – воскресенью, 2 – понедельнику и т. д. до 6 – пятницы).

4. Если год високосный  и зрители назвали дату, приходящуюся на январь или февраль, от полученного результата необходимо отбросить один день (то есть вместо понедельника называть воскресенье, вместо вторника – понедельника и т. д.)

Первый этап вычислений служит своеобразным сигналом, предупреждающим  вас о високосности года. Високосные годы приходится на каждый четвёртый год, а любое число кратно 4, если две его последние цифры образуют двузначное число, кратное 4. Таким образом, если две последние цифры названного зрителями года образуют двузначное число, которое без остатка делится на 12, или остаток от деления его на 12 кратен  4, то это служит вам предостережением о том, что год високосный. (Вместе с тем следует иметь в виду, что в грегорианском календаре 1800 г и 1900 г., хотя и они кратны 4, не считаются високосными, в то время как 2000 г считается високосным. Дело в том что годы, приходящиеся  на начала столетний, грегорианском календаре високосными лишь в том случае, если они кратны 400*.)

Способ определения для недели, о которым мы рассказали, применим к годам нашего века. Впрочем, переход к более далёком прошлому или будущему требует лишь незначительных изменений. Например для дат, относящихся к прошлому веку, необходимо «накидывать» два дня, для дат, относящихся к будущему веку, - отнимать один день.

Поясним все сказанное на пример. Предположим, что кто-то из зрителей родился 28 июля 1929 г и желает узнать,  на какой день недели пришёлся его день рождения. Производимые вами в уме выкладки будут выглядеть следующим образом:

1. Последние две цифры года образуют двузначное число 29. Разделив его на 12, вы получаете 2 (и 5 в остатке). Разделив 5 на 4, получаете 1(и 1в остатке). Вычисляете сумму 2+5+1= 8 и заменяете её остатком от деления на 7. Итак, в результате первого этапа вычислений  вы получаете 1.
2. Ключевое число для июля равно 0. следовательно, к имеющейся единице ничего прибавлять не надо, и вы по-прежнему удерживаете в памяти1.
3. Прибавляете  28 – день месяца – 1 и полученную суму делите на 7. Следовательно, зритель родился в воскресенье.

Необходимо в четвёртом этапе отпадает, поскольку 1929 г – невисокосный. (Впрочем если бы и високосным,  то необходимость в четвёртом этапе всё равно не возникла бы, так как зритель родился в июле, а не январе и не феврале – двух месяцах, для которых вводится поправка.)

В конце прошлого века (имеется в виду 19 век, Е.С.) интерес к определению дня недели любой названной даты был чрезвычайной велик и породил множество различных методов решения задачи. Один из первых методов, по существу аналогичный тому, о котором рассказывалось  в той главе, был предложен Льюисом Кэрролом. «Не могу сказать, что  считаю в уме очень быстро, - писал он, - но все же на любой вопрос такого рода мне  удается ответить в среднем не более чем за 20 секунд. Ничуть не сомневаюсь что те, кто считает проворнее меня, справились бы с задачей менее чем за 15 секунд».

ОТВЕТЫ

Принцип, или, если угодно, механизм, действия четырёх магических чисел лучше всего пояснить на примерах.

Число 142 857 143 – это частное от деления 1 000 000 001 на 7. Ясно, что при умножении  1 000 000 001 на любое девятизначное число abcdefht мы получим произведения вида abcdefghjabcdefghi. Следовательно, для того, чтобы умножить 142 857 143 на abcdefghi, достаточно разделить число abcdefghiabcdefghi  на 7.

Второе магическое число 2 857 143 равно частному от деления 20 000 001 на 7. Нетрудно видеть, что  в этом случая семизначное число, на которое мы хотим умножить 2 857  143 сначала необходимо умножить на 2, затем разделить на 7, а дойдя до последний цифры продолжать деления на 7 того же числа, но уже без предварительного удваивание его. Условие, согласно которому каждая цифра семизначного числа, умножаемого на 2 857 143, должна быть больше 4, гарантирует появления 1, прибавляемой к удвоенной цифры и делает возможным именно тот вариант удваивания, который был описан выше. Разумеется, умножать цифры на 2 и делить на 7 можно и в том случае, если среди цифр семизначного числа встречаются цифры меньше 5, но правила при этому  усложняются. Малые магические числа 143 и 1667 «действуют» аналогичным образом. Первое из них равно 1001/7, второе  - 5001 / 3. Во втором случая прежде чем делить ( «по первому разу» ) на 3 числа abc, умножаемое на 1667, его необходимо умножить на 5. Поскольку умножение на 5 эквивалентно умножению на 10 с последующим делением на 2, мы дописываем к числу abc нуль справа и производим деление на 6 так, как уже говорилось. Остаток делится пополам для того, чтобы перевести «шестые» в «трети», и приписывается спереди к числу abc, после чего делится на 3. Частное гарантировано от «заикание» (однообразного повторения цифр) именно тем, что число abc оба делится на различные числа. При умножения 143 на число abc кратное 7, произведение всего не свободно от «заикания».

Текст с книжки набрал Никита Скляревский