Удивительная сумма сумм

Один из самых юных читателей журнала "Наука и жизнь", ученик третьего класса Саша Ниходовский обнаружил интересную закономерность, связанную с суммами цифр многознач ных чисел. Она в чем-то схожа с арифметическими аттракторами - понятием, введенным Р. Бахтизиным и К. Штуктуровым из Уфы (см. "Наука и жизнь" № 9, 2000 г., № 3, 2004 г.). Закономерность эта не только интересна сама по себе, но и может иметь практическое применение.

Однажды во втором классе на уроке математики нам продиктовали ряд цифр: 1, 2, 3, 4 - и предложили дома составить из них все возможные суммы. У меня получились такие примеры:

1+234=235, 4+123=127, 214+3=217, 14+23=37,

2+134=136, 432+1=433, 21+34=55, 321+4=325 и т.д.

От нечего делать я придумал игру: начал искать суммы цифр всех полученных ответов. Во всех случаях результат был один и тот же - число 10. Например, 2+3+5=10, и 2+1+7=10, и 4+3+3=10 и т.д. Дальше мне пришло в голову найти сумму исходных цифр (продиктованных учителем): 1+2+3+4=10.

Я заинтересовался этой закономерностью и стал ее проверять на больших числах.

Например, число 548 769. Сумма его цифр 5+4+8+7+6+9=39. Сложил 3+9=12 и 1+2=3, а затем опять начал составлять все возможные суммы и находил суммы цифр, составляющих найденные ответы:

54+87+69=210, сумма цифр ответа 2+1=3;

967+845=1812, сумма цифр ответа

1+8+1+2=12, а 1+2=3;

769+485=1254, сумма цифр ответа

1+2+5+4=12, а 1+2=3.

Продолжая составлять все возможные суммы из цифр, составляющих число 548 769, убедился, что окончательная сумма цифр всех полученных ответов всегда равнялась 3.

Я увлекся замеченной мною закономерностью и стал проверять ее на разных числах. Результат был тот же: для всех возможных сумм цифр, составляющих число 52 863 749, сумма цифр ответа всегда была 8, а для сумм цифр, составляющих число 269 751, - равнялась 3.

Пораженный открытой закономерностью, пробовал включать в ряды цифр нули и повторяющиеся цифры. Вот, например, число 10 972.

Сумма его цифр:

1+0+9+7+2=19, 1+9=10, 1+0=1.

Некоторые из возможных сумм, составленных из цифр этого числа, и суммы цифр ответов:

109+72=181, 1+8+1=10, 1+0=1;

19+270=289, 2+8+9=19, 1+9=10, 1+0=1;

297+10=307, 3+0+7=10, 1+0=1.

Опять повторилась та же закономерность.

Я проверял свое открытие на десятках номеров трамвайных билетов, номерах телефонов из справочника и т.д.

Например, телефон лицея 95-4-65.

9+5+4+6+5=29, 2+9=11, 1+1=2.

Составляю произвольно любые четыре суммы из первоначального набора:

564+59=623, сумма цифр ответа 6+2+3=11,

1+1=2;

956+54=1010, сумма цифр ответа 1+0+1+0=2;

495+65=560, сумма цифр ответа 5+6+0=11,

1+1=2;

55+694=749, сумма цифр ответа 7+4+9=20,

2+0=2.

Видно, что и в этом случае закономерность остается в силе.

Арифметическая игра с числами и цифрами, составляющими их запись, не только очень увлекательна. Я смог показать, что эта игра имеет практическое значение. Учитель легко сможет проверить любые примеры на сложение, а каждый покупатель - быстро узнает, не обсчитали ли его. Для этого следует на ценниках штучного товара рядом с его ценой указывать сумму цифр его цены. Например, мы купили:

шоколад - цена 15 руб., сумма цифр цены

1+5=6;

10 яиц - 29 руб., сумма цифр цены 2+9=11,

1+1=2;

рулет - 18 руб., сумма цифр цены 1+8=9;

хлеб - 12 руб., сумма цифр цены 1+2=3;

молоко - 17 руб., сумма цифр цены 1+7=8;

Еще в очереди я сосчитал:

6+2+9+3+8=28, 2+8=10, 1+0=1.

Всего мне сказали уплатить 93 руб.

А сумма цифр цены моей покупки 9+3=12,

1+2=3.

3 не равно 1, значит, продавец ошибся.

Всего за покупку мне нужно было уплатить

91 рубль (9+1=10, 1+0=1).

Зная о найденной закономерности, можно легко и просто проверить, верна ли названная кассиром сумма.

А. НИХОДОВСКИЙ (г. Усолье-Сибирское-17 Иркутской обл.)

От редакции. Может быть, кто-нибудь из читателей журнала найдет математическое обоснование закономерности, обнаруженной Сашей?
Источник: "Наука и жизнь", но скопировано с "Известий науки" по подсказке Cadaver'a