БЛОГФорумСсылки Написать письмоПочему Арбуз? Служебная UN ЕЖЕ-движение - международный союз интернет-деятелей


Пифагоровы тройки, как частное решение

 

            Пифагоровы тройки – это натуральные числа, образующие группу прямоугольных треугольников. По открытой еще древними математиками истине, данные числа удовлетворяют диофантову уравнению 

 

                                         x2 + y2 = z2                                                 ( 1 )

 

Таковы, например:  x = 3 ,  y = 4 ,  z = 5    или  x = 5 ,  y = 12 ,  z = 13 . Все тройки взаимно простых  Пифагоровых чисел можно получить из аналитических формул:

 

          x = u2v2  ,      y = 2uv   ,      z = u2 + v2 ,                       ( 2 )

 

где  u   и  v  принадлежат натуральному ряду,  u > v > 0 .

 

            Если   u   и  v   взаимно простые, то сумма их квадратов образует особую группу целых положительных чисел  z .  Например,  22 + 12 = 5 ,   32 + 12 = 10 ,   32 + 22 = 13  и так далее. Предположительная особенность такова. Если   n = 1,  2,  3, …, то диофантово уравнение

 

                                        x2 + y2 = zn                                                 ( 3 )

 

однозначно существует только при упомянутых выше значениях  z .  Если это действительно так, то Пифагоровы тройки  являются частными решениями соотношения (3). Из сказанного следует, что скорее всего нет ни одного целочисленного тождества для      x2 + y2 = 6n  ,  но зато существует хотя бы один набор   x , y , n   при котором реализуется уравнение    

x2 + y2 = 5n   Например: 

 

                                               72 + 242 = 54  ;     

 

                                  26422 + 64692 = 511  .    

 

            Мои доводы – это всего лишь гипотеза. Доказать ее, по всей видимости, не легче, чем Великую Теорему Ферма, но численными примерами можно удостовериться в правильности рассуждений хотя бы для нескольких тысяч вариантов.

            Чтобы решить проблему эффективно, необходимо выполнить компьютерные расчёты. Автор решил вычисления проделать в редакторе Maple10.  Это один из самых мощных математических продуктов современности, позволяющий производить анализ как в символьном, так и в калькуляторном режиме.

            Программирование в упомянутой среде настолько упрощено, что можно обойтись буквально пятью строками команд. Вот они:

 

u:=2:v:=1:k:=2:m:=2:z:=u^2+v^2: t:=100000:for n from 1 to 6 do print(n); for y from 1 to t do if z^n>y^m then x:=simplify((z^n-y^m)^(1/k));x1:=trunc(x);if x=x1 then  print(x,y,z,ifactor(x),ifactor(y)) fi;fi; od od;

 

Сначала задаются два взаимно простые числа  u  и  v  ,  причём в данном случае неважно, какое из них больше. Показатели степени  k  и  m  приняты равными двум. После вычисляется  параметр  z .  Далее идут два встроенных цикла. Внешний цикл изменяет показатель степени  n  от 1 до 6, а на внутреннем цикле производится выборка решений. Поясним некоторые команды:   simplify    - упрощение выражения ;  trunc     -  выделение целой части десятичной дроби;  ifactor    -    разложение целого числа на простые множители. По этой программе получаем серию вариантов для одного значения  z:

Выпишем допустимые соответствия:

 

  12 + 22 = 51  ;          32 + 42 = 52  ;             22 + 112 = 53   ;      

 

  72 + 242 = 54    ;   382 + 412 = 55  ;         442 + 1172 = 56

 

 

Подчеркнутый вариант – это первая Пифагорова тройка. Наверное, достаточно лишь понять законы изменения последовательностей чисел  x  и  y , чтобы найти общий метод поиска остальных троек чисел. Приведем еще несколько результатов:

 

 12 + 32 = 101  ;            62 + 82 = 102   ;       182 + 262 = 103

 

282 + 962 = 104  ;    122 + 3162 = 105   ;   3522 + 9362 = 106

 

В этой серии четных чисел лишь члены Пифагоровой тройки (они не взаимно простые) можно поделить на 22 , превратив этот вариант в  32 + 42 = 52. Во всех остальных равенствах такой фокус не получится.

Очередная порция тождеств:

 

22 + 32 = 131  ;               52 + 122 = 132   ;           92 + 462 = 133

 

1192 + 1202 = 134    ; 1222 + 5972 = 135  ;     8282 + 20352 = 136

 

И так далее…

 

Если бы хоть один житель Земли знал, чего мне стоило найти строгие алгебраические связи! Но муки творчества позади  и теперь можно дать общий метод.

 

Выражение  (3)  перепишем  в виде:

 

x2 + y2 = (u2 + v2)n   ,                      ( 4 )

 

где  значения  u   и  v   - такие же, как и в (2).

 

            Cначала построим своеобразную Таблицу Паскаля, позволяющую не только получать биноминальные коэффициенты, но и определять знаки перед ними:

 

 

 

Конечно же, я нашел теоретические формулы для составления готового тождества при любом значении n , но они настолько громоздкие и непривлекательные, что лучше рассмотреть конкретные примеры с описанием общих правил конструирования алгебраических соотношений.

 

1 . Если показатель степени  n  - число нечетное, то достаточно получить выражение только для   x , а  уж  y  формируется путем формальной  замены  на   и  на   u .

 

                Итак, пусть  n = 7.   Находим по таблице нужную строку. Биноминальные коэффициенты:  1 , - 7 ,  - 21 ,  35 ,  35 , -  21 ,  - 7 ,  1 .  Знаки перед числами зависят от цвета поля, где они находятся. Если цвет малиновый, то ставится плюс, если же голубой, то минус. Для формирования  x и  y  потребуется лишь половина этих цифр:

 

                       x = | u7 – 7 v6 u – 21 u5 v2  + 35 v4 u3 |           ( 5 )  

 

Если отказаться от модуля, то может получиться отрицательное значение  x , что тоже, однако, является решением. Здесь многочлен всегда начинается с  un . Затем во втором слагаемом появляется  vn-1  , в третьем  un-2  и так далее. Начиная со второго члена приписывается сомножитель-дополнение. Сумма их показателей степени всегда равна  n

( например, 6 + 1 = 7,   5 + 2 = 7  и так далее).

 Параметр  y по структуре такой же, как  (5) :

 

                     y = | v7 – 7 u6 v – 21 v5 u2  + 35 u4 v3 |           ( 6 )

 

                Проверим в  Maple10,   будет ли   x2 + y2  =  ( u2 + v2)7 :

 

 

 W:=x^2+y^2-(u^2+v^2)^7;

 W:= factor( W );

            В самом деле, получено алгебраическое тождество, справедливое для действительных  (а не только целых)  чисел.

                Еще пример. Примем  n = 9.  Тогда сразу пишем:

 

x = | u9 + 9 v8 u – 36 u7 v2  – 84 v6 u3 + 126 u5 v4 |

 

y = | v9 + 9 u8 v – 36 v7 u2  – 84 u6 v3 + 126 v5 u4 |

Проверяем тождество (4):

 

 W:=x^2+y^2-(u^2+v^2)^9;

 W:= factor( W );

                Теперь уже можно стопроцентно гарантировать безупречность методики при нечетных   n .

 

                2 .  Если показатель  n  четный, то технология несколько иная. Здесь уже будут задействованы все биноминальные коэффициенты.  Те из них, которые не выделены жирной рамкой, потребуются для формирования  x , а  выделенные – для   y .

                Пусть  n = 6 ,   Конструируем  выражение  x.  Рассматриваем только коэффициенты, не выделенные рамкой.  Первый член, как и в предыдущих примерах, - это  un  со знаком минус (согласно таблице).  Второе слагаемое  –  это  + 15 un-2 v2  .  Третье слагаемое:

 – 15 un-4 v4 .     Если бы число n было больше шести, то процесс продолжался бы, каждый раз изменяя показатели степени на двойку. Последний член – это  + vn . Применим  рекомендации к рассматриваемому случаю:

 

                  x = | – u6 + 15 u4 v2 – 15 u2 v4 + v6 |

 

Для формирования  y  используем только цифры в рамках. Здесь показатели степени обязательно нечетные  и снижаются для параметра  u :

 

                  y = | – 6 u5 v  + 20 u3v3 – 6 u v5 |

Проверим правильность построений:

 

W:=x^2+y^2-(u^2+v^2)^6;

 W:= factor( W );

Формула работает. Проверим еще для  n = 10 :

 

x = | u10 – 45 u8 v2 + 210 u6 v4 – 210 u4 v6 + 45 u2 v8 – v10 |

y = | 10 u9 v – 120 u7 v3 + 252 u5 v5 – 120 u3 v7 + 10 u v9  |

 

 W:=x^2+y^2-(u^2+v^2)^10;

 

 W:= factor( W );

                Итак, метод доказан для довольно сложных вариантов. Теперь, исходя из данной модели, легко найти  выражения для генерации Пифагоровых чисел.

                Имеем случай  n = 2.  При помощи таблицы тут же выявляем:

                               x = | u2 – v2 | ;          y =  | 2 u v |  .

                Получены числа Пифагора, которые находятся из частного решения уравнения  ( 4 ).

Новые афоризмы:

Будь Пифагор с нами,  он бы женился

на компьютере.

Числа уводят так далеко, что

забываешь число, месяц и год.

Найти решение -  значит, прорвать

оборону тайны.

 

Палиндромы:

Зуб  Раи  -  арбуз !

Воз убран арбузов.

Арбуз у зубра.

 

Георгий Александров

Специально для www.arbuz.uz

Май 2006 г.

Москва

 



20 апреля 2006 г     Специально для www.arbuz.uz


Автор about me
Design by dady_MYKC
)c( 2000-2017
Kопирайта нет, копируйте на здоровье :)

100012 лет в Интернете


.