Веселый молочник

Чуть измененный текст колонки на Информационном Буме

«Корова молоко дает»,
А нужно все наоборот:
«Дает корова молоко»!

Вздохнем сначала глубоко,
Вздохнем, строку перечеркнем
И дело заново начнем.
Сергей Михалков. Чистописание

Очень красивая задача «проходила» недавно в коммюнити с таким же именем.

Прочтите предыдущую фразу еще раз. Если не поняли, с каким «таким же», то поясню — коммюнити так и зазывается «задача». Вот условие: «Мoлoкo в срeднeм за мeсяц стоилo 10 рублeй за литр. Oднa хoзяйкa брaлa кaждый дeнь рoвнo пo литру, a другая прoсилa нaлить мoлoка рoвнo на 10 рублeй. Ктo зaплaтил бoльше дeнeг и ктo получил больше мoлoкa?»На первый, да и на второй, взгляд не ясно — какая разница? Ведь напрашивается ответ, что одинаково заплатят и получат молока обе хозяйки. Тем удивительнее выглядят последующие рассуждения. Начнем сразу с примера. Предположим, что в течении двух дней цена молока менялась с 8 рублей за литр до 12 рублей за литр. В среднем — те самые 10 рублей. Первая хозяйка купит 2 литра и заплатит за них 20 рублей.

Через несколько дней после публикации Веселого молочника объявил конкурс в своем lj - кто первый отгадает, что за желтый кусочек около левой границы картинки чуть ниже середины? Ответ внизу страницы...

Вторая же хозяйка в первый день купит 10:8=1,25 литра, а во второй день 10:12=0,8333333 литра, за два дня соответственно 1,25+0,8333333=2,0833333 литра, что чуть больше, чем первая.
Для большей наглядности увеличим разницу в цене, предположим, что цена была 5 и 15 рублей за литр. Тогда вторая хозяйка возьмет 10:5 + 10:15 = 2 + 0,666666 = 2,666667 литров. В общем виде вторая хозяйка за два дня получит 200 / (100-а²), где а — отклонение ежедневной цены от среднего значения, при а=9 за два дня «набегает» 22,222 литра.

Значит, ответ звучит так. Тратить они будут одинаково, но вторая хозяйка, когда молоко дешевле, покупать будет больше, а когда дороже — меньше. Значит она более экономная, цена молока для нее в среднем меньше, и молока она купит больше. Кажущийся парадокс связан с тем, что не совсем корректно брать средние значения величин, являющимися отношением двух параметров. Отсюда же и  известные парадоксы, связанные со средней скоростью движения.

И еще одна задача совсем из другой области на мой взгляд имеет отношение к «Молочному парадоксу», так как в ней тоже идет речь об отклонении от среднего значения. Ровно в 10 часов наши часы вдруг пошли в полтора раза быстрее и шли так, пока не дошли ровно до 11 часов, после чего пошли в полтора раза медленнее, пока не дошли до 12 часов. Сколько в этот момент показывали обычные часы?

Приведу лучшие комментарии, написанные в моем lj к этому посту:

Удивительно, но это - самая интересная запись в сегодняшней френдленте.

Если серьёзно, то те, кто решал задачу и пришёл к такому выводу, попали в капкан, который поставил автор задачи. Это простительно гуманитариям, но не простительно
тем, кто проводит серьёзные расчёты на практике, такие ошибки приводят к серьёзным
последствиям неприятного характера.
Допустим, первые пятнадцать дней молоко стоило пять рублей за литр, а вторые пятнадцать дней молоко стоило пятнадцать рублей за литр, тогда средняя стоимость молока за литр:
(5 х15 + 15 х 15): 30 = 10 рублей, что не противоречит условию задачи.
Рассмотрим действия первой хозяйки:
В первые пятнадцать дней, она купила пятнадцать литров молока, заплатив при этом семьдесят пять рублей. Во вторые пятнадцать дней она купила ещё пятнадцать литров, но при этом заплатила двести двадцать пять рублей. И так, первая хозяйка купила тридцать литров молока в течении месяца, заплатив при этом триста рублей.
Это удовлетворяет условие задачи.
Рассмотрим действие второй хозяйки, так понравившееся многим участникам решения задачи, своей прозорливостью и хозяйственностью:
В первые пятнадцать дней она купила тридцать литров молока, покупая по два литра в день и, платя при этом по пять рублей за каждый литр. За первую пятнадцати дневку она заплатила сто пятьдесят рублей. Вторые пятнадцать дней она продолжала платить по десять рублей каждый день, но молока ей за это никто не дал, т.к. на него закончился лимит. Если бы ей дали хотя бы один литр лишнего молока, то его средняя стоимость тут же изменилась бы, а это не допускает условие задачи.
Хотелось бы пожелать молодым специалистам не попадать в такие ловушки и, если решение задачи не стыкуется с условием, тут же искать ошибку :)

Евгений, а не кажется ли вам, что причина видимого парадокса - в смешении двух разных средних. Еcть средняя цена молока на рынке ЗА ПЕРИОД ВРЕМЕНИ, которая считается как (цена молока в первый день + цена молока во второй день + ... + цена молока в последний день)/(количество дней), и есть средняя цена КУПЛЕННОГО молока, которая считается как (цена молока в первый день * количество купленного в первый день + цена молока во второй день* количество купленного в второй день + ... + цена молока в последний день * количество купленного в последний день)/(количество купленного в первый день + количество купленного в второй день + ... + количество купленного в последний день). Это далеко не одно и то же, что и вызывает кучу парадоксов в задачах такого рода, чем и пользуются изготовители задачников ;-) Еще интереснее становятся задачи при условии ограниченного рынка, то есть когда, в данном случае, количество покупаемого молока где-то около количества продаваемого в этот день, то есть в какие-то дни невозможно купить требуемого количества. Но это уже совсем другая история...

К чему пришел после многочасовых упражнений.
Действительно, средняя цена зависит от количества молока, купленного по какой-то определенной цене, вот три примера
1) купили 10 литров за 12 р и 10 л за 8 р – средняя цена = 20р / 20л = 1 р\л – вроде все ОК.
2) купили 100 л за 120 р и 10 л за 8 р, средняя цена = 128 р / 110 л = 1,1(63) р/л – цена больше
3) купил 10 л за 12 р и 100л за 80 р, средняя цена = 92 р / 110 л = 0,8(36) р/л – цена меньше
То есть, подходить с вчерашней средней ценой к сегодняшним покупкам вообще бессмысленно (как тут не вспомнить среднюю температуру по больнице :- )

К некоторому тупику придем и со скоростью движения.
Предположим, средняя скорость велосипедиста (неважно кого) 10 км/час и обозначим через а отклонение от среднего значения на разных участках.
Если он движется равные отрезки времени t с каждой из скоростей, то все ОК:
(10+a)*t + (10-a)*t = 20t и средняя скорость сохраняется.

Теперь, по аналогии с молоком, предложим велосипедисту проезжать по 10 км так, чтобы средняя скорость (в первоначальном нашем понимании) сохранялась.
На первые 10 км он потратит 10 км / (10+а) км/час
На вторые 10 км он потратит 10 км / (10-а) км/час
На все 20 км пути он потратит 200 / (100-а²) часов.
Но если снова посчитать среднюю скорость, то получим:
Vср = 10 - а² / 10 – не равной первоначальной предполагаемой. Причина все та же – на большой скорости ехал меньше времени, чем на медленной, с ростом отклонения «а» время медленного движения будет расти в квадратичной зависимости, пока, при а=10 не станет бесконечным.
То есть, как только отрезки времени (или количество молока) становятся неравными – средняя скорость и средняя цена становятся другими и все расчеты с прежними данными теряют смысл.

Примечательно, что в нашей аналогии ценЫ и скорости литры соответствуют часам, а рубли – километрам. Это все время путает, так как по первому движению думается, что литры соответствуют километрам… не запарил еще читателей?

Кто что думает?

Продолжаю занудствовать . Парадокс – это когда перед всё пробиваемым снарядом,
стоит не пробиваемая броня или, Евгений выше Павла, Павел выше Бориса, а Борис выше Евгения. В истории с часами парадокса нет, а всё та же ловушка.
Не нормальные часы делают один оборот, в то время как нормально идущие часы делают три четверти оборота. Затем ненормальные часы должны сделать три четверти оборота, а нормальные полный оборот, тогда условия для обоих часов будут корректными, и средняя скорость будет равна 1 и 3/4 оборота за один час сорок минут. При данном условии не нормальные часы проходят путь в два оборота за два часа десять минут, т.е. идут со средней скоростью один оборот за пятьдесят пять минут, тогда как нормальные часы идут со скоростью один оборот за шестьдесят минут. Как видим, здесь нет парадокса, просто в условии задачи для часов заданны разные средние скорости вращения.

Парадокс в том, что общая сумма тех и других часов не совпадает, хотя на первый взгляд напрашивается. Аналогия с молоком в том, что "часы дольше идут медленно" и "молока больше берут дешового" - хотя слова без цифр кажутся неправильными :)

Насчет "Борис выше Евгения" - это уже не парадокс, а "дополнительное условие" :)

Начну со второго: "Борис выше Евгения" - это не дополнительное условие, а одно из главных условий, которое и приводит к парадоксу. В данной ситуации Борис просто не может быть выше Евгения :)
Второе: Мы привыкли измерять скорость в км/час, км/сек, м/сек, об/сек, об/мин и т.д..
Автор задачи учёл человеческий фактор, т.е., проводить расчёты по привычным единицам измерения. Он взял за основу скорость не Нормальных часов, у которых средняя скорость
минутной стрелки равна одному обороту за 60 сек, а скорость НЕнормальных часов.
Рассмотрим ситуацию, включив воображение: Большая стрелка НЕнормальных часов должна сделать
один полный оборот, при этом должна двигаться в полтора раза быстрее, чем стрелка Нормальных часов. И сделает она это через сорок минут, когда Нормальная стрелка дойдёт до цифры "8" на циферблате. Для стрелки НЕнормальных часов это будет не 1об за 60мин, а 1об за 40мин.
Далее, стрелка НЕнормальных часов делает ещё один оборот и, при этом, её скорость
в полтора раза менше скорости стрелки нормальных часов, т.е. сделает она это за 90мин.
Смотрим где окажется стрелка Нормальных часов через 90 минут. Находясь на цифре "8" она переместится на цифру "2"
НЕнормальные часы при этом будут показывать 12часов ровно, а Нормальные - 12час 10мин
Скорость Нормальных часов величина постоянная и равна 1об за 60мин.
Найдём среднюю скорость НЕнормальных часов: Два оборота они сделали за 2часа 10мин или
за 130 мин. 130:2=65 т.е. 1об за 65 мин, по этому здесь и нет парадокса, просто они двигались с разными средними скоростями.
Попав в логическую ловушку, человеку очень трудно из неё выкорабкаться :)
Если я Вас не очень сильно утомил, то могу написать не менее интересную задачу, где постараюсь придумать какой-нибудь каверзный капкан >:)~
 

Одна знакомая дама сразу предположила, что это кусочек халата - и все - никаких конкурсов, так как она оказалась права... Вот она, эта картинка из набора клипартов.

Пейте, дети, молоко, будете такими же симпатичными :)